1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}.$$ Nous devons d'abord déterminer son domaine de définition $D_f$. 2. **Détermination du domaine $D_f$ :** La fonction $f$ est définie lorsque l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle : $$x^2 + 2x - 3 \geq 0.$$ 3. **Résolution de l'inéquation :** Factorisons le trinôme : $$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1).$$ L'inéquation devient : $$(x+3)(x-1) \geq 0.$$ 4. **Étude du signe :** - Le produit est positif ou nul lorsque $x \leq -3$ ou $x \geq 1$. - Donc, le domaine de définition est : $$D_f = ]-\infty, -3] \cup [1, +\infty[.$$ **Réponse finale :** $$D_f = ]-\infty, -3] \cup [1, +\infty[.$$