1. Énonçons le problème : on considère la fonction $f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$. Nous devons expliquer pourquoi elle est définie sur $]-\infty;-1[$ et $]0;+\infty[$, pourquoi elle n'est pas dérivable sur tout son domaine, et comment tracer son tableau de variation. 2. Domaine de définition : - La fonction logarithme $\ln(y)$ est définie pour $y>0$. - Ici, $y=1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$. - Pour que $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ soit défini, il faut $\frac{x+1}{x} > 0$. 3. Étudions le signe de $\frac{x+1}{x}$ : - Le numérateur $x+1$ est nul en $x=-1$. - Le dénominateur $x$ est nul en $x=0$. - Les points $x=-1$ et $x=0$ sont exclus du domaine. 4. Signe de $\frac{x+1}{x}$ selon les intervalles : - Pour $x < -1$, $x+1 < 0$ et $x < 0$, donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{négatif}}{\text{négatif}} > 0$. - Pour $-1 < x < 0$, $x+1 > 0$ et $x < 0$, donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{négatif}} < 0$ (interdit). - Pour $x > 0$, $x+1 > 0$ et $x > 0$, donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} > 0$. 5. Conclusion sur le domaine : - $f$ est définie sur $]-\infty;-1[$ et $]0;+\infty[$. 6. Dérivabilité : - La fonction $f$ est composée de $\ln$ et de fonctions rationnelles. - Les points $x=-1$ et $x=0$ ne sont pas dans le domaine, donc pas de dérivabilité là. - De plus, la fonction peut ne pas être dérivable en certains points où la dérivée n'existe pas (par exemple, points de discontinuité ou singularités). 7. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x} \right)$$ - Pour la première partie : $$\frac{d}{dx} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{-1/x^2}{1+1/x} = \frac{-1/x^2}{\frac{x+1}{x}} = \frac{-1}{x^2} \times \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{x(x+1)}$$ - Pour la deuxième partie : $$\frac{d}{dx} \frac{1}{1+x} = -\frac{1}{(1+x)^2}$$ - Donc : $$f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{- (1+x) + x}{x(1+x)^2} = \frac{-1}{x(1+x)^2}$$ 8. Étude du signe de $f'(x)$ : - Le dénominateur $x(1+x)^2$ est positif ou négatif selon $x$. - $(1+x)^2 > 0$ toujours sauf en $x=-1$ exclu. - Donc le signe de $f'(x)$ dépend de $-1/x$. - Pour $x < -1$, $x$ est négatif donc $-1/x > 0$ donc $f'(x) > 0$. - Pour $x > 0$, $x$ est positif donc $-1/x < 0$ donc $f'(x) < 0$. 9. Tableau de variation : - Sur $]-\infty;-1[$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. - Sur $]0;+\infty[$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. - Les bornes $x=-1$ et $x=0$ sont des points de discontinuité. 10. Pour tracer le tableau de variation, on place les intervalles $]-\infty;-1[$ et $]0;+\infty[$, on note la croissance et décroissance selon le signe de $f'(x)$, et on indique les limites aux bornes.