1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de définition de la fonction $$f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{1+x}$$. 2. Rappelons que le domaine de définition d'une fonction logarithme naturel $$\ln(y)$$ est $$y > 0$$. 3. Donc, pour que $$f(x)$$ soit définie, il faut que : $$1 + \frac{1}{x} > 0$$ 4. Résolvons cette inéquation : $$1 + \frac{1}{x} > 0 \implies \frac{x+1}{x} > 0$$ 5. Étudions le signe de $$\frac{x+1}{x}$$ : - Le numérateur $$x+1$$ est nul en $$x = -1$$. - Le dénominateur $$x$$ est nul en $$x = 0$$. 6. Construisons le tableau de signes : - Pour $$x < -1$$ : $$x+1 < 0$$ et $$x < 0$$ donc $$\frac{x+1}{x} = \frac{\text{négatif}}{\text{négatif}} > 0$$. - Pour $$-1 < x < 0$$ : $$x+1 > 0$$ et $$x < 0$$ donc $$\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{négatif}} < 0$$. - Pour $$x > 0$$ : $$x+1 > 0$$ et $$x > 0$$ donc $$\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} > 0$$. 7. Ainsi, la condition $$1 + \frac{1}{x} > 0$$ est satisfaite pour $$x < -1$$ ou $$x > 0$$. 8. Vérifions aussi que le dénominateur de la deuxième fraction $$\frac{1}{1+x}$$ ne soit pas nul, donc $$1+x \neq 0 \implies x \neq -1$$. 9. Comme $$x = -1$$ est exclu du domaine, cela ne change pas notre domaine car $$x = -1$$ est déjà exclu par la condition précédente. 10. Conclusion : Le domaine de définition de $$f$$ est $$\boxed{(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)}$$.