1. Énoncé du problème : Déterminer le domaine de définition de la fonction $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1+x}}$$. 2. Rappel des règles importantes : - Le dénominateur ne doit pas être nul. - L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. 3. Étudions les conditions sur le dénominateur $$\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1+x}$$ : - Pour que $$\sqrt{1+x^2}$$ soit définie, il faut $$1+x^2 \geq 0$$, ce qui est toujours vrai pour tout $$x \in \mathbb{R}$$. - Pour que $$\sqrt{1+x}$$ soit définie, il faut $$1+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$. 4. Le dénominateur ne doit pas être nul : $$\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1+x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{1+x^2} \neq \sqrt{1+x}$$ 5. Élevons au carré des deux côtés (en faisant attention que cela peut introduire des solutions extrêmes à vérifier) : $$1+x^2 \neq 1+x \Rightarrow x^2 \neq x \Rightarrow x^2 - x \neq 0 \Rightarrow x(x-1) \neq 0$$ 6. Donc $$x \neq 0$$ et $$x \neq 1$$. 7. Résumons les conditions : - $$x \geq -1$$ (pour la racine $$\sqrt{1+x}$$) - $$x \neq 0$$ et $$x \neq 1$$ (pour que le dénominateur ne soit pas nul) 8. Conclusion : Le domaine de définition de $$f$$ est $$\boxed{[-1,0) \cup (0,1) \cup (1,+\infty)}$$.