1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x) = \ln(1 + x^3) + x - 1$.\n\n2. Rappelons que la fonction logarithme naturel $\ln(y)$ est définie uniquement pour $y > 0$.\n\n3. Ici, l'argument du logarithme est $1 + x^3$. Donc, il faut que $1 + x^3 > 0$.\n\n4. Résolvons l'inéquation : $$1 + x^3 > 0 \implies x^3 > -1.$$\n\n5. Puisque la fonction cube est strictement croissante, on peut prendre la racine cubique des deux côtés : $$x > -1.$$\n\n6. Il n'y a pas d'autres restrictions sur $x$ pour la fonction $f(x)$, car $x - 1$ est défini pour tout réel.\n\n7. Conclusion : Le domaine de définition de $f$ est $$\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x > -1\}}.$$