1. **Énoncé du problème :** Déterminer le domaine de définition de la fonction $$f(x) = \sqrt{\ln^2(x) + 5\ln(x) - 6}$$. 2. **Formule et règles importantes :** - La fonction racine carrée $$\sqrt{u}$$ est définie pour $$u \geq 0$$. - Le logarithme naturel $$\ln(x)$$ est défini pour $$x > 0$$. 3. **Étape 1 : Domaine de $$\ln(x)$$** - On doit avoir $$x > 0$$. 4. **Étape 2 : Positivité de l'expression sous la racine** - Posons $$t = \ln(x)$$. - L'expression sous la racine devient $$t^2 + 5t - 6 \geq 0$$. 5. **Étape 3 : Résolution de l'inéquation quadratique** - Trouvons les racines de $$t^2 + 5t - 6 = 0$$. - Le discriminant est $$\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49$$. - Les racines sont $$t_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6$$ et $$t_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$$. 6. **Étape 4 : Signe du polynôme** - Le coefficient devant $$t^2$$ est positif, donc $$t^2 + 5t - 6 \geq 0$$ pour $$t \leq -6$$ ou $$t \geq 1$$. 7. **Étape 5 : Retour à $$x$$** - $$t = \ln(x) \leq -6 \implies x \leq e^{-6}$$. - $$t = \ln(x) \geq 1 \implies x \geq e^{1} = e$$. - Rappel : $$x > 0$$. 8. **Conclusion : Domaine de définition** - $$D_f = ]0, e^{-6}] \cup [e, +\infty[ $$. **Réponse finale :** $$D_f = \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x \leq e^{-6} \text{ ou } x \geq e \}$$