1. **Énoncé du problème** : Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{1+x}$.\n\n2. **Rappel des règles importantes** :\n- Le logarithme népérien $\ln(y)$ est défini uniquement pour $y > 0$.\n- Les dénominateurs ne doivent pas être nuls.\n\n3. **Analysons chaque partie** :\n- Pour $\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$, il faut que $1 + \frac{1}{x} > 0$.\n- Pour $\frac{1}{1+x}$, il faut que $1+x \neq 0$, donc $x \neq -1$.\n\n4. **Résolvons l'inéquation** :\n$$1 + \frac{1}{x} > 0 \implies \frac{x+1}{x} > 0.$$\n\n5. **Étudions le signe de $\frac{x+1}{x}$** :\n- Le numérateur $x+1$ est nul en $x = -1$.\n- Le dénominateur $x$ est nul en $x=0$.\n\n6. **Tableau de signes** :\n- Pour $x < -1$, $x+1 < 0$ et $x < 0$ donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{négatif}}{\text{négatif}} > 0$.\n- Pour $-1 < x < 0$, $x+1 > 0$ et $x < 0$ donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{négatif}} < 0$.\n- Pour $x > 0$, $x+1 > 0$ et $x > 0$ donc $\frac{x+1}{x} = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} > 0$.\n\n7. **Domaines où l'inéquation est vraie** :\n$$(-\infty, -1) \cup (0, +\infty).$$\n\n8. **Excluons les points où la fonction n'est pas définie** :\n- $x \neq -1$ (déjà exclu car $-1$ est point critique).\n- $x \neq 0$ (car division par zéro dans $\frac{1}{x}$).\n\n9. **Conclusion** :\nLe domaine de définition de $f$ est\n$$\boxed{(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)}.$$