1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité au point 0 des fonctions suivantes à l'ordre donné. 2. **Rappel des formules et règles importantes :** - Le développement limité (DL) d'une fonction $f$ au point 0 à l'ordre $k$ est une approximation polynomiale de $f$ autour de 0, de la forme $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^k).$$ - On utilise les DL connus des fonctions usuelles : - $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ - $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ - $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ --- ### 1) $f_1(x) = \cos x (\sin x - x)$, ordre $k=5$. 3. **Calcul des DL partiels :** - $\sin x - x = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ 4. **Produit :** $$f_1(x) = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) \times \left(-\frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{12} - \frac{x^7}{144} + o(x^5).$$ 5. **À l'ordre 5, on garde jusqu'à $x^5$ :** $$f_1(x) = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{12} + o(x^5).$$ --- ### 2) $f_2(x) = e^{\sin x}$, ordre $k=2$. 6. **DL de $\sin x$ à l'ordre 2 :** $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \implies \sin x = x + o(x^2)$$ 7. **DL de $e^u$ à l'ordre 2 :** $$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$$ 8. **Substitution $u = \sin x$ :** $$f_2(x) = 1 + \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2} + o(x^2).$$ 9. **À l'ordre 2, $\sin x \approx x$, $(\sin x)^2 \approx x^2$ :** $$f_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).$$ --- ### 3) $f_3(x) = \frac{1}{\cos x}$, ordre $k=4$. 10. **DL de $\cos x$ à l'ordre 4 :** $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4).$$ 11. **Utilisation de la formule pour $\frac{1}{1+v}$ avec $v = \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ :** $$\frac{1}{1+v} = 1 - v + v^2 + o(x^4).$$ 12. **Calcul de $v^2$ à l'ordre 4 :** $$v^2 = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^4).$$ 13. **Donc :** $$f_3(x) = 1 - \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) + \frac{x^4}{4} + o(x^4) = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + o(x^4).$$ 14. **Simplification :** $$f_3(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4).$$ --- ### 4) $f_4(x) = \arctan x$, ordre $k=3$. 15. **DL connu de $\arctan x$ :** $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3).$$ --- ### 5) $f_5(x) = x \ln(\cos x)$, ordre $k=3$. 16. **DL de $\cos x$ à l'ordre 4 :** $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4).$$ 17. **DL de $\ln(1+u)$ avec $u = \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ :** $$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(x^4).$$ 18. **Calcul de $u^2$ à l'ordre 4 :** $$u^2 = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^4).$$ 19. **Donc :** $$\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4).$$ 20. **Multiplication par $x$ :** $$f_5(x) = x \times \left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}\right) + o(x^5) = -\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{12} + o(x^5).$$ 21. **À l'ordre 3, on garde :** $$f_5(x) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3).$$ --- ### 6) $f_6(x) = \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)$, ordre $k=4$. 22. **DL de $\sin x$ :** $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5).$$ 23. **Calcul de $\frac{\sin x}{x}$ :** $$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4).$$ 24. **DL de $\ln(1+v)$ avec $v = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}$ :** $$\ln(1+v) = v - \frac{v^2}{2} + o(x^4).$$ 25. **Calcul de $v^2$ à l'ordre 4 :** $$v^2 = \left(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}\right)^2 = \frac{x^4}{36} + o(x^4).$$ 26. **Donc :** $$f_6(x) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{1}{2} \times \frac{x^4}{36} + o(x^4) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^4}{72} + o(x^4).$$ 27. **Simplification :** $$f_6(x) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{90} + o(x^4).$$ --- **Résumé final des développements limités :** - $f_1(x) = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{12} + o(x^5)$ - $f_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ - $f_3(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4)$ - $f_4(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ - $f_5(x) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)$ - $f_6(x) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{90} + o(x^4)$