1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $$\frac{\sin x - 1}{\cos x + 1}$$ lorsque $x$ tend vers 0. 2. Rappelons les valeurs de base : $\sin 0 = 0$ et $\cos 0 = 1$. 3. Substituons directement $x=0$ dans l'expression : $$\frac{\sin 0 - 1}{\cos 0 + 1} = \frac{0 - 1}{1 + 1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$. 4. Cependant, la question semble demander un développement limité, donc développons $\sin x$ et $\cos x$ autour de 0 : $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ 5. Remplaçons dans l'expression : $$\frac{\sin x - 1}{\cos x + 1} = \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - 1}{\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) + 1} = \frac{x - 1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}$$ 6. Simplifions le numérateur : $x - 1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. 7. Simplifions le dénominateur : $2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$. 8. Pour obtenir un développement limité, divisons numérateur et dénominateur en développant en série de Taylor : $$\frac{x - 1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \frac{-1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}$$ 9. Posons $A = -1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ et $B = 2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$. 10. Utilisons la formule de division pour séries : $$\frac{A}{B} = \frac{A}{2} \times \frac{1}{1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2)} = \frac{A}{2} \left(1 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)\right)$$ 11. Calculons : $$\frac{A}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} + o(x^3)$$ 12. Multiplions par $1 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)$ : $$\left(-\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} + o(x^3)\right) \left(1 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)\right) = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} - \frac{1}{2} \times \frac{x^2}{4} + o(x^3)$$ 13. Simplifions : $$-\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{8} + o(x^3)$$ 14. Conclusion : Le développement limité de $$\frac{\sin x - 1}{\cos x + 1}$$ en 0 est $$-\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{12} + o(x^3)$$. 15. La limite lorsque $x$ tend vers 0 est donc $$-\frac{1}{2}$$.