1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction $$f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2$$. 2. **Formule et règles importantes :** Le développement limité (ou série de Taylor) à l’ordre 2 en 0 d’une fonction $$f(x)$$ s’écrit généralement : $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$ 3. **Calcul de $$f(x)$$ :** Développons d’abord l’expression : $$f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2 = (1 + 2x + 4x^2)^2$$ 4. **Développement complet :** $$f(x) = 1^2 + 2 \times 1 \times (2x + 4x^2) + (2x + 4x^2)^2$$ $$= 1 + 2(2x + 4x^2) + (2x)^2 + 2 \times 2x \times 4x^2 + (4x^2)^2$$ $$= 1 + 4x + 8x^2 + 4x^2 + 16x^3 + 16x^4$$ 5. **Simplification des termes jusqu’à l’ordre 2 :** On ne garde que les termes jusqu’à $$x^2$$ car on cherche le développement limité à l’ordre 2 : $$f(x) = 1 + 4x + (8x^2 + 4x^2) + o(x^2) = 1 + 4x + 12x^2 + o(x^2)$$ 6. **Conclusion :** Le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $$f(x)$$ est : $$1 + 4x + 12x^2 + o(x^2)$$ 7. **Comparaison avec les propositions :** A. $$1 + 4x^2 + 12x^3 + o(x^3)$$ (ne correspond pas) B. $$x + x^2 + o(x^2)$$ (ne correspond pas) C. $$1 - x^2 + o(x^2)$$ (ne correspond pas) D. $$x^2 + 12x^3 + o(x^3)$$ (ne correspond pas) E. Aucune des réponses n’est correcte. **Réponse finale :** E. Aucune des réponses n’est correcte car le terme en $$x$$ est présent dans le développement limité et aucune proposition ne correspond exactement.