1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction $$f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2$$. 2. **Formule et règles importantes :** Le développement limité à l'ordre 2 en 0 d'une fonction consiste à exprimer la fonction sous la forme $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$. 3. **Calcul de $f(x)$ :** $$f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2 = (1 + 2x + 4x^2)^2$$ 4. **Développement de l'expression :** $$f(x) = 1^2 + 2 \times 1 \times (2x + 4x^2) + (2x + 4x^2)^2$$ $$= 1 + 2(2x + 4x^2) + (2x)^2 + 2 \times 2x \times 4x^2 + (4x^2)^2$$ $$= 1 + 4x + 8x^2 + 4x^2 + 16x^3 + 16x^4$$ 5. **Simplification en regroupant les termes jusqu'à l'ordre 2 :** $$f(x) = 1 + 4x + (8x^2 + 4x^2) + o(x^2) = 1 + 4x + 12x^2 + o(x^2)$$ 6. **Conclusion :** Le développement limité à l'ordre 2 en 0 est $$f(x) = 1 + 4x + 12x^2 + o(x^2)$$. 7. **Comparaison avec les propositions :** Aucune des propositions A, B, C, D ne correspond exactement à ce développement limité. Donc, la bonne réponse est **E. Aucune des réponses n'est correcte.**