1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité de $f(x) = \frac{x}{x-1} \sqrt{x^2+1}$ d'ordre 2 en 0. 2. **Formule et règles importantes :** - Le développement limité (DL) d'une fonction $f$ en 0 d'ordre 2 est de la forme : $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$ - On doit calculer $f(0)$, $f'(0)$ et $f''(0)$. 3. **Calcul de $f(0)$ :** $$f(0) = \frac{0}{0-1} \sqrt{0^2 + 1} = 0$$ 4. **Calcul de $f'(x)$ :** Posons $g(x) = \frac{x}{x-1}$ et $h(x) = \sqrt{x^2+1}$. - Dérivée de $g(x)$ : $$g'(x) = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$$ - Dérivée de $h(x)$ : $$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$ - Par la règle du produit : $$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} \sqrt{x^2+1} + \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$ 5. **Calcul de $f'(0)$ :** $$f'(0) = \frac{-1}{(0-1)^2} \sqrt{0+1} + \frac{0}{0-1} \cdot \frac{0}{\sqrt{1}} = -1 + 0 = -1$$ 6. **Calcul de $f''(x)$ :** Dérivons $f'(x)$ en utilisant la somme et produit : - Dérivée de $\frac{-1}{(x-1)^2} \sqrt{x^2+1}$ : $$u = \frac{-1}{(x-1)^2}, \quad u' = \frac{2}{(x-1)^3}$$ $$v = \sqrt{x^2+1}, \quad v' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\Rightarrow (uv)' = u'v + uv' = \frac{2}{(x-1)^3} \sqrt{x^2+1} - \frac{1}{(x-1)^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$ - Dérivée de $\frac{x}{x-1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ : Posons $p = \frac{x}{x-1}$ et $q = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $$p' = \frac{-1}{(x-1)^2}, \quad q' = \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$$ Donc $$ (pq)' = p'q + pq' = \frac{-1}{(x-1)^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{x-1} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$$ 7. **Calcul de $f''(0)$ :** Substituons $x=0$ : $$f''(0) = \left(\frac{2}{(0-1)^3} \cdot 1 - \frac{1}{(0-1)^2} \cdot 0\right) + \left(\frac{-1}{(0-1)^2} \cdot 0 + \frac{0}{0-1} \cdot 1\right) = 2 + 0 = 2$$ 8. **Développement limité d'ordre 2 en 0 :** $$f(x) = 0 - 1 \cdot x + \frac{2}{2} x^2 + o(x^2) = -x + x^2 + o(x^2)$$ **Réponse finale :** $$\boxed{f(x) = -x + x^2 + o(x^2)}$$