1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $[-1,1]$ par $$f(x) = (1 - x)\sqrt{1 - x^2}.$$ 2. **Dérivabilité de $f$ en $-1$ et $+1$ :** - La fonction $f$ est composée d'un produit de deux fonctions : $g(x) = 1 - x$ et $h(x) = \sqrt{1 - x^2}$. - La fonction $h(x)$ est définie sur $[-1,1]$ mais sa dérivée s'annule ou diverge aux bornes car $h(x) = (1 - x^2)^{1/2}$. Calculons la dérivée $f'(x)$ pour $x \in (-1,1)$ : $$ f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) = (-1)\sqrt{1 - x^2} + (1 - x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = -\sqrt{1 - x^2} - \frac{x(1 - x)}{\sqrt{1 - x^2}}. $$ Étudions la limite de $f'(x)$ quand $x \to -1^+$ : - $\sqrt{1 - x^2} \to 0^+$ - Le terme $\frac{x(1 - x)}{\sqrt{1 - x^2}}$ tend vers $\frac{-1 \cdot (1 - (-1))}{0^+} = \frac{-1 \cdot 2}{0^+} = -\infty$ Donc $f'(x) \to -0 - (-\infty) = +\infty$ quand $x \to -1^+$, la dérivée n'est pas finie en $-1$ donc $f$ n'est pas dérivable en $-1$. De même, pour $x \to 1^-$ : - $\sqrt{1 - x^2} \to 0^+$ - $\frac{x(1 - x)}{\sqrt{1 - x^2}} \to \frac{1 \cdot 0}{0^+} = 0$ Le premier terme $-\sqrt{1 - x^2} \to 0^-$ Donc $f'(x) \to 0^-$, la dérivée existe et vaut 0 en $1$. 3. **Tangentes en $x = -1$ et $x = 1$ :** - En $x = -1$, $f(-1) = (1 - (-1))\sqrt{1 - (-1)^2} = 2 \cdot 0 = 0$. - La dérivée n'existe pas, donc pas de tangente classique, mais la pente tend vers $+\infty$, la tangente est verticale. - En $x = 1$, $f(1) = (1 - 1)\sqrt{1 - 1^2} = 0$. - La dérivée $f'(1) = 0$, donc la tangente est horizontale : $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0.$$ 4. **Tableau de variation de $f$ et valeur en $0$ :** - Calculons $f(0) = (1 - 0)\sqrt{1 - 0} = 1 \cdot 1 = 1$. - Étudions le signe de $f'(x)$ sur $(-1,1)$ : $$f'(x) = -\sqrt{1 - x^2} - \frac{x(1 - x)}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{- (1 - x^2) - x(1 - x)}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-1 + x^2 - x + x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x^2 - x -1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$ Le dénominateur est positif sur $(-1,1)$, donc le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $2x^2 - x -1$. Résolvons $2x^2 - x -1 = 0$ : $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}.$$ Donc racines $x = 1$ et $x = -\frac{1}{2}$. - Pour $x \in (-1, -\frac{1}{2})$, testons $x = -0.75$ : $2(0.75)^2 - (-0.75) -1 = 2(0.5625) + 0.75 -1 = 1.125 + 0.75 -1 = 0.875 > 0$ donc $f'(x) > 0$. - Pour $x \in (-\frac{1}{2}, 1)$, testons $x=0$ : $2(0)^2 - 0 -1 = -1 < 0$ donc $f'(x) < 0$. Donc $f$ est croissante sur $[-1, -\frac{1}{2}]$ et décroissante sur $[-\frac{1}{2}, 1]$. 5. **Résumé du tableau de variation :** - $f(-1) = 0$ - $f(-\frac{1}{2}) = (1 + \frac{1}{2}) \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299$ - $f(0) = 1$ - $f(1) = 0$ 6. **Conclusion :** - $f$ a un maximum local en $x = -\frac{1}{2}$ avec $f(-\frac{1}{2}) \approx 1.299$. - Tangente verticale en $x = -1$. - Tangente horizontale en $x = 1$.