1. **Énoncé du problème :** Calculer $f'(0)$ pour $$f(x) = (1 + x)(1 + 2x) \cdots (1 + nx)$$ et calculer $f''(0)$ pour $$f(x) = \log(1x) \log(2x) \cdots \log(nx)$$ 2. **Calcul de $f'(0)$ pour le produit :** On a $$f(x) = \prod_{k=1}^n (1 + kx)$$ La dérivée logarithmique est plus simple à manipuler : $$\ln f(x) = \sum_{k=1}^n \ln(1 + kx)$$ Dérivons : $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{1 + kx}$$ En évaluant en $x=0$ : $$\frac{f'(0)}{f(0)} = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$ Or $f(0) = \prod_{k=1}^n 1 = 1$, donc $$f'(0) = \frac{n(n+1)}{2}$$ 3. **Calcul de $f''(0)$ pour le produit des logarithmes :** On a $$f(x) = \prod_{k=1}^n \log(kx)$$ Attention, $\log(kx)$ n'est défini que pour $x>0$. Posons $$g(x) = \ln f(x) = \sum_{k=1}^n \ln(\log(kx))$$ Dérivons $g(x)$ : $$g'(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\log(kx)} \cdot \frac{k}{kx} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x \log(kx)}$$ En $x=0$, $\log(kx) \to -\infty$, donc $g'(0)$ n'est pas défini. Pour $f''(0)$, on peut écrire $$f''(x) = f(x) \left(g''(x) + (g'(x))^2\right)$$ Mais $f(0) = \prod_{k=1}^n \log(0) = \prod_{k=1}^n (-\infty)$ n'est pas défini. **Conclusion :** - $f'(0) = \frac{n(n+1)}{2}$ - $f''(0)$ n'est pas défini car $f(x)$ n'est pas défini en $x=0$ pour la fonction logarithmique donnée.