1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par $$f(x) = \frac{3 - 2x}{x + 1}.$$ Nous devons : - Montrer que $f'(1) = -\frac{5}{4}$. - Trouver l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe au point d'abscisse 1. - Vérifier si cette tangente a un autre point d'intersection avec la courbe. 2. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** La fonction est une fraction rationnelle, on utilise la formule de dérivation : $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$ avec $u(x) = 3 - 2x$ et $v(x) = x + 1$. Calculons les dérivées : $$u'(x) = -2, \quad v'(x) = 1.$$ Donc : $$f'(x) = \frac{(-2)(x+1) - (3 - 2x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{-2x - 2 - 3 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{-5}{(x+1)^2}.$$ 3. **Calcul de $f'(1)$ :** $$f'(1) = \frac{-5}{(1+1)^2} = \frac{-5}{2^2} = \frac{-5}{4}.$$ Cela confirme que $f'(1) = -\frac{5}{4}$. 4. **Équation de la tangente $\mathcal{T}$ au point $A$ d'abscisse 1 :** L'équation de la tangente en $x=1$ est : $$y = f'(1)(x - 1) + f(1).$$ Calculons $f(1)$ : $$f(1) = \frac{3 - 2 \times 1}{1 + 1} = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}.$$ Donc : $$y = -\frac{5}{4}(x - 1) + \frac{1}{2} = -\frac{5}{4}x + \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{4}x + \frac{7}{4}.$$ L'équation réduite de la tangente est donc : $$y = -\frac{5}{4}x + \frac{7}{4}.$$ 5. **Intersection de la tangente avec la courbe $\mathcal{C}_f$ :** Cherchons les points d'intersection autres que $x=1$ en résolvant : $$f(x) = y \quad \Rightarrow \quad \frac{3 - 2x}{x + 1} = -\frac{5}{4}x + \frac{7}{4}.$$ Multiplions par $4(x+1)$ pour éliminer les dénominateurs : $$4(3 - 2x) = (-5x + 7)(x + 1).$$ Développons : $$12 - 8x = -5x^2 - 5x + 7x + 7 = -5x^2 + 2x + 7.$$ Réorganisons : $$0 = -5x^2 + 2x + 7 - 12 + 8x = -5x^2 + 10x - 5.$$ Divisons par $-5$ : $$x^2 - 2x + 1 = 0.$$ Cette équation est : $$(x - 1)^2 = 0,$$ qui admet une racine double $x=1$. Cela signifie que la tangente touche la courbe en un seul point, $x=1$, et n'a pas d'autre point d'intersection. **Réponse finale :** - $f'(1) = -\frac{5}{4}$. - Équation de la tangente : $$y = -\frac{5}{4}x + \frac{7}{4}.$$ - La tangente ne coupe la courbe qu'en $x=1$, pas d'autre intersection.