1. **Énoncé du problème :** Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & 0 \leq x \leq 1 \\ ax^2 + bx + 1, & x > 1 \end{cases}$$ soit dérivable sur $\mathbb{R}^+$. 2. **Conditions pour la dérivabilité sur $\mathbb{R}^+$ :** - $f$ doit être continue en $x=1$. - $f$ doit être dérivable en $x=1$. 3. **Continuité en $x=1$ :** On impose $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x).$$ Calculons : - $f(1) = \sqrt{1} = 1$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1)^2 + b(1) + 1 = a + b + 1$ Donc, $$1 = a + b + 1 \implies a + b = 0.$$ 4. **Dérivabilité en $x=1$ :** Les dérivées à gauche et à droite doivent être égales : - $f'(x)$ pour $x < 1$ : dérivée de $\sqrt{x}$ est $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$ Donc, $$f'(1^-) = \frac{1}{2}.$$ - $f'(x)$ pour $x > 1$ : dérivée de $ax^2 + bx + 1$ est $$f'(x) = 2ax + b.$$ Donc, $$f'(1^+) = 2a + b.$$ Égalité des dérivées en $x=1$ donne : $$\frac{1}{2} = 2a + b.$$ 5. **Système à résoudre :** $$\begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = \frac{1}{2} \end{cases}$$ Soustrayons la première équation de la deuxième : $$(2a + b) - (a + b) = \frac{1}{2} - 0 \implies a = \frac{1}{2}.$$ Puis, $$b = -a = -\frac{1}{2}.$$ 6. **Conclusion :** Les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}^+$ sont $$a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{2}.$$