1. **Énoncé du problème :** Déterminer les réels $a,b$ tels que la fonction $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ ax^2 + bx + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ soit dérivable sur $\mathbb{R}_+$. 2. **Rappel des définitions et conditions :** - Une fonction est dérivable en un point si elle est continue en ce point et que la limite du taux d'accroissement existe. - Pour que $f$ soit dérivable en $x=1$, il faut que $f$ soit continue en 1 et que les dérivées à gauche et à droite en 1 soient égales. 3. **Continuité en $x=1$ :** On impose $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$ Calculons : - $f(1)$ par la définition de gauche : $f(1) = \sqrt{1} = 1$ - Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} ax^2 + bx + 1 = a(1)^2 + b(1) + 1 = a + b + 1$ Donc continuité $\Rightarrow 1 = a + b + 1 \implies a + b = 0$. 4. **Dérivabilité en $x=1$ :** Calculons les dérivées à gauche et à droite : - À gauche, $f(x) = \sqrt{x}$ donc $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1^-) = \frac{1}{2}$$ - À droite, $f(x) = ax^2 + bx + 1$ donc $$f'(x) = 2ax + b \implies f'(1^+) = 2a + b$$ Pour dérivabilité, on impose $$f'(1^-) = f'(1^+) \implies \frac{1}{2} = 2a + b$$ 5. **Résolution du système :** On a deux équations : $$\begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = \frac{1}{2} \end{cases}$$ Soustrayons la première de la deuxième : $$(2a + b) - (a + b) = \frac{1}{2} - 0 \implies a = \frac{1}{2}$$ Puis $$b = -a = -\frac{1}{2}$$ 6. **Conclusion :** Les valeurs $$a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{2}$$ assurent que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$. **Réponse finale :** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{2}}$$