1. Énoncé du problème : Soit $n \geq 2$ un entier et $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = \frac{1 + x^n}{(1+x)^n}.$$ 2. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x \geq 0$. 3. Calcul de la dérivée : On utilise la règle du quotient $$f'(x) = \frac{(1+x)^n \cdot \frac{d}{dx}(1+x^n) - (1+x^n) \cdot \frac{d}{dx}((1+x)^n)}{(1+x)^{2n}}.$$ 4. Calcul des dérivées partielles : $$\frac{d}{dx}(1+x^n) = n x^{n-1},$$ $$\frac{d}{dx}((1+x)^n) = n(1+x)^{n-1}.$$ 5. Substitution dans $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{(1+x)^n \cdot n x^{n-1} - (1+x^n) \cdot n (1+x)^{n-1}}{(1+x)^{2n}} = \frac{n (1+x)^{n-1} \left( (1+x) x^{n-1} - (1+x^n) \right)}{(1+x)^{2n}}.$$ 6. Simplification : $$f'(x) = \frac{n \left( (1+x) x^{n-1} - (1+x^n) \right)}{(1+x)^{n+1}} = \frac{n \left( x^{n-1} + x^n - 1 - x^n \right)}{(1+x)^{n+1}} = \frac{n (x^{n-1} - 1)}{(1+x)^{n+1}}.$$ 7. Étude du signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}^+$ : - Pour $x > 0$, le dénominateur $(1+x)^{n+1} > 0$. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $x^{n-1} - 1$. - Si $x < 1$, alors $x^{n-1} < 1$ donc $f'(x) < 0$. - Si $x = 1$, alors $f'(1) = 0$. - Si $x > 1$, alors $x^{n-1} > 1$ donc $f'(x) > 0$. 8. Conclusion : $f$ est décroissante sur $[0,1]$ et croissante sur $[1, +\infty)$, donc $f$ admet un minimum en $x=1$. 9. Calcul du minimum : $$f(1) = \frac{1 + 1^n}{(1+1)^n} = \frac{2}{2^n} = 2^{1-n}.$$ 10. En déduire l'inégalité : Pour tout $x \geq 0$, $$f(x) = \frac{1 + x^n}{(1+x)^n} \geq 2^{1-n}.$$ 11. Multiplier cette inégalité par $(1+x)^n$ positive, on obtient : $$1 + x^n \geq 2^{1-n} (1+x)^n,$$ ce qui s'écrit aussi $$ (1+x)^n \leq 2^{n-1} (1 + x^n).$$ 12. Montrer que pour $r \in \mathbb{R}$ et $y \geq 0$, on a $$ (x+y)^n \leq 2^{n-1} (x^n + y^n).$$ 13. Preuve : Posons $X = \frac{x}{y}$ si $y > 0$, sinon l'inégalité est triviale. Alors $$\frac{(x+y)^n}{y^n} = (X+1)^n \leq 2^{n-1} (X^n + 1) = 2^{n-1} \frac{x^n + y^n}{y^n}.$$ 14. En multipliant par $y^n$, on obtient l'inégalité voulue. Si $y=0$, alors $(x+0)^n = x^n \leq 2^{n-1} x^n$ qui est vraie. 15. Ainsi, pour tous $x,y \geq 0$, $$ (x+y)^n \leq 2^{n-1} (x^n + y^n).$$