1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité de la fonction $f(x) = \ln(\sin x)$ sur l'intervalle $I = ]0 ; \pi[$ et calculer sa dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in I$. 2. **Rappel de la formule :** La dérivée de $\ln(u)$, où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, est donnée par $$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$ 3. **Domaine de définition :** Pour que $f(x) = \ln(\sin x)$ soit définie, il faut que $\sin x > 0$. Sur l'intervalle $]0 ; \pi[$, $\sin x$ est strictement positif, donc $f$ est bien définie et dérivable sur cet intervalle. 4. **Calcul de la dérivée :** - Posons $u(x) = \sin x$. - La dérivée de $u$ est $u'(x) = \cos x$. Donc, $$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$ 5. **Conclusion :** La fonction $f(x) = \ln(\sin x)$ est dérivable sur $]0 ; \pi[$ et sa dérivée est $$f'(x) = \cot x$$