1. Énoncé du problème : On considère une fonction $f$ définie sur $[-1; +\infty[$ avec la dérivée seconde donnée par $$f''(x) = \frac{(x - 1) g(x)}{(x^2 + 1)^2}.$$ Il faut calculer $f'(x)$ sur $]-\infty; -1[$. 2. Formule utilisée : Pour trouver $f'(x)$, on sait que $f''(x)$ est la dérivée de $f'(x)$, donc $$f'(x) = \int f''(x) \, dx + C,$$ avec $C$ une constante d'intégration. 3. Analyse de la fonction sur $]-\infty; -1[$ : Comme $f''(x)$ est donné sur $[-1; +\infty[$, on ne connaît pas explicitement $f''(x)$ sur $]-\infty; -1[$. Il faut donc supposer ou connaître $f''(x)$ sur cet intervalle pour intégrer. 4. Sans expression explicite de $g(x)$ sur $]-\infty; -1[$, on ne peut pas calculer directement $f'(x)$ sur cet intervalle. Il faudrait plus d'informations sur $g(x)$ ou $f''(x)$ sur $]-\infty; -1[$. 5. Conclusion : Le problème posé ne donne pas assez d'informations pour calculer $f'(x)$ sur $]-\infty; -1[$. Il faut connaître $f''(x)$ ou $g(x)$ sur cet intervalle. Réponse finale : Impossible de calculer $f'(x)$ sur $]-\infty; -1[$ sans informations supplémentaires sur $g(x)$ ou $f''(x)$ sur cet intervalle.