1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$. 2. **Limites à l'infini :** Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$. On développe d'abord : $$f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(x - 4\sqrt{x} + 4) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x.$$ - Pour $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^2$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ - Pour $\frac{f(x)}{x} = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4$, on a $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty.$$ **Conclusion :** $f(x)$ croît plus vite que $x$ à l'infini. 3. **Dérivabilité à droite en 0 :** Calculons $f'(0^+)$. On a $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ avec $f(0) = 0$. Le taux de variation à droite en 0 est $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(\sqrt{h} - 2)^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\sqrt{h} - 2)^2 = 4.$$ Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'(0^+) = 4$. 4. **Dérivée pour $x > 0$ :** Montrons que $$f'(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2).$$ En dérivant $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$, on utilise la règle du produit : $$f'(x) = (\sqrt{x} - 2)^2 + x \cdot 2(\sqrt{x} - 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = (\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x} - 2) = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 2 + 1) = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1) \times 2.$$ 5. **Signe de $f'(x)$ et variations :** Les racines de $f'(x)$ sont $x=1$ et $x=4$ (car $\sqrt{x} = 1$ ou $2$). - Pour $x \in (0,1)$, $\sqrt{x} < 1$, donc $(\sqrt{x} - 1) < 0$ et $(\sqrt{x} - 2) < 0$, produit positif. - Pour $x \in (1,4)$, $(\sqrt{x} - 1) > 0$, $(\sqrt{x} - 2) < 0$, produit négatif. - Pour $x > 4$, les deux facteurs sont positifs, produit positif. Donc $f$ croît sur $(0,1)$, décroît sur $(1,4)$, puis croît sur $(4,+\infty)$. 6. **Concavité et point d'inflexion :** Calculons $f''(x)$ et trouvons le point d'inflexion. On dérive $f'(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)$ : $$f''(x) = 2 \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} - 1) \frac{1}{2\sqrt{x}} \right] = \frac{2}{2\sqrt{x}} (2\sqrt{x} - 3) = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}}.$$ Le point d'inflexion est où $f''(x) = 0$, soit $$2\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2.25.$$ Calculons $f(2.25)$ : $$f(2.25) = 2.25 (\sqrt{2.25} - 2)^2 = 2.25 (1.5 - 2)^2 = 2.25 ( -0.5)^2 = 2.25 \times 0.25 = 0.5625.$$ Le point d'inflexion est $I\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right)$. 7. **Résolution de $f(x) = x$ :** On cherche $x$ tel que $$x(\sqrt{x} - 2)^2 = x.$$ Si $x=0$, égalité vraie. Sinon, on divise par $x$ (positif) : $$(\sqrt{x} - 2)^2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 = \pm 1.$$ - Si $\sqrt{x} - 2 = 1$, alors $\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x=9$. - Si $\sqrt{x} - 2 = -1$, alors $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Donc solutions : $x=0,1,9$. Graphiquement, la courbe coupe la droite $y=x$ en ces points. 8. **Fonction réciproque de $g = f|_{[4,+\infty[}$ :** - $g$ est strictement croissante sur $[4,+\infty[$. - $g$ admet donc une réciproque $g^{-1}$ définie sur $J = [g(4), +\infty[$. Calculons $g(4)$ : $$g(4) = 4(2 - 2)^2 = 0.$$ Donc $J = [0, +\infty[$. 9. **Tableau de variations de $g^{-1}$ :** Puisque $g$ est croissante, $g^{-1}$ est aussi croissante sur $J$. 10. **Calcul de $g(9)$ et $g^{-1}(9)$ :** $$g(9) = 9(3 - 2)^2 = 9(1)^2 = 9.$$ Donc $g^{-1}(9) = 9$. 11. **Expression de $g^{-1}$ :** Montrons que $$g^{-1}(x) = \left( \sqrt{1 + \sqrt{x} + 1} \right)^2 = (\sqrt{\sqrt{x} + 2})^2 = \sqrt{x} + 2.$$ En fait, la formule exacte est $$g^{-1}(x) = (\sqrt{1 + \sqrt{x}} + 1)^2,$$ ce qui correspond à la résolution de $y = x(\sqrt{x} - 2)^2$ inversée. --- **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty,$$ $$f'(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2),$$ $$\text{Point d'inflexion } I\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right),$$ $$f(x) = x \iff x = 0,1,9,$$ $$g^{-1}(x) = (\sqrt{1 + \sqrt{x}} + 1)^2.$$