1. Énonçons le problème : Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \sqrt[3]{u(x)}$ où $u(x) = \frac{x}{x-1}$.\n\n2. Calculons la dérivée de $u(x)$ :\n$$u'(x) = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}.$$\n\n3. Exprimons $f(x)$ comme une puissance :\n$$f(x) = u(x)^{\frac{1}{3}}.$$\n\n4. Utilisons la règle de dérivation des fonctions composées, qui dit que si $f(x) = g(h(x))$, alors $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Ici, $g(t) = t^{\frac{1}{3}}$, donc \n$$g'(t) = \frac{1}{3} t^{-\frac{2}{3}}.$$\n\n5. En appliquant cette règle, on obtient :\n$$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = \frac{1}{3} u(x)^{-\frac{2}{3}} \cdot u'(x).$$\n\n6. On remplace $u(x)$ et $u'(x)$ :\n$$f'(x) = \frac{1}{3} \left(\frac{x}{x-1}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right).$$\n\n7. En résumé, on multiplie par $\frac{1}{3}$ parce que c'est la dérivée de la fonction puissance $t^{1/3}$ selon la règle de dérivation des fonctions composées.