1. **Énoncé du problème :** On considère une fonction $f$ continue sur $]-\infty;1]$ et dérivable sur $]-\infty;1[$, avec un graphe donné. **1.a)** Déterminer $f'(0)$ et $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-1}{x-1}$ à partir du graphique. **1.b)** Justifier l'existence d'un réel $\lambda \in [0;1]$ tel que $f'(\lambda) = 0$. **2.a)** Montrer que $g(x) = \frac{x-1}{x+2}$ est strictement croissante sur $]-2; +\infty[$. **2.b)** Déterminer l'image $g(]-2; +\infty[)$. **3.a)** Montrer que $h = f \circ g$ est dérivable sur $]-2; +\infty[$. **3.b)** Calculer $h'(1)$. --- 2. **Résolution :** **1.a)** - $f'(0)$ est la pente de la tangente à $f$ en $x=0$. - D'après le graphique, la tangente en $x=0$ passe par $(0,1)$ et coupe l'axe des abscisses vers $x=0.5$. - La pente est donc $\frac{0-1}{0.5-0} = \frac{-1}{0.5} = -2$. - Pour $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-1}{x-1}$, on remarque que $f(1) = 1$. - Comme $f$ est définie sur $]-\infty;1]$, la limite à droite de 1 n'existe pas (domaine à gauche de 1). - Donc $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-1}{x-1}$ n'existe pas ou est indéfinie. **1.b)** - $f$ est continue sur $[0;1]$ et dérivable sur $]0;1[$. - On a $f(0) = 1$ (point d'intersection avec l'axe des ordonnées) et $f(1) = 1$. - Par le théorème de Rolle, il existe $\lambda \in ]0;1[$ tel que $f'(\lambda) = 0$. **2.a)** - Calcul de $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$$ - Comme $(x+2)^2 > 0$ pour tout $x > -2$, on a $g'(x) > 0$ sur $]-2; +\infty[$. - Donc $g$ est strictement croissante sur cet intervalle. **2.b)** - Domaine de $g$ : $]-2; +\infty[$. - Limites aux bornes : - $\lim_{x \to -2^+} g(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{x-1}{x+2} = -\infty$ (car dénominateur tend vers 0 positif, numérateur vers -3). - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1$. - Comme $g$ est strictement croissante, l'image est $]-\infty;1[$. **3.a)** - $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$. - $g$ est dérivable sur $]-2; +\infty[$ et $g(]-2; +\infty[) \subset ]-\infty;1[$. - Donc $h = f \circ g$ est dérivable sur $]-2; +\infty[$ par composition. **3.b)** - $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - Calculons $h'(1)$ : - $g(1) = \frac{1-1}{1+2} = 0$. - $f'(0) = -2$ (déjà calculé). - $g'(1) = \frac{3}{(1+2)^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. - Donc $$h'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(0) \cdot \frac{1}{3} = -2 \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}.$$