1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $$f(x) = (x - 2) \sqrt{x} - \frac{1}{2} x$$ Nous devons calculer la dérivée de $f$ en $0^+$, c'est-à-dire la dérivée à droite en $0$. 2. **Formule de la dérivée** : La dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$ est donnée par $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Pour la dérivée à droite en $0$, on considère $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ 3. **Calcul de $f(0)$** : $$f(0) = (0 - 2) \sqrt{0} - \frac{1}{2} \times 0 = 0$$ 4. **Calcul de $f(h)$ pour $h > 0$ petit** : $$f(h) = (h - 2) \sqrt{h} - \frac{1}{2} h$$ 5. **Calcul du taux de variation** : $$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{(h - 2) \sqrt{h} - \frac{1}{2} h - 0}{h} = \frac{(h - 2) \sqrt{h} - \frac{1}{2} h}{h}$$ 6. **Simplification** : On écrit $\sqrt{h} = h^{1/2}$, donc $$\frac{(h - 2) h^{1/2} - \frac{1}{2} h}{h} = \frac{h^{3/2} - 2 h^{1/2} - \frac{1}{2} h}{h} = \frac{h^{3/2}}{h} - \frac{2 h^{1/2}}{h} - \frac{1}{2} \frac{h}{h}$$ Ce qui donne $$h^{1/2} - 2 h^{-1/2} - \frac{1}{2}$$ 7. **Limite quand $h \to 0^+$** : - $h^{1/2} \to 0$ - $h^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{h}} \to +\infty$ Donc $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \left(h^{1/2} - 2 h^{-1/2} - \frac{1}{2}\right) = -\infty$$ 8. **Interprétation** : La dérivée à droite en $0$ n'existe pas car la limite diverge vers $-\infty$. La pente de la tangente à droite en $0$ est donc infiniment négative. **Réponse finale** : La dérivée de $f$ en $0^+$ n'existe pas car elle tend vers $-\infty$.