1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices sur l'étude de fonctions et leur dérivation. --- ### Exercice ① 1. Trouver $f'(1)$ et $f'(0)$ à partir de la courbe. 2. Vérifier si $f$ est dérivable en $2$. 3. Déterminer les dérivées à gauche $f'_g(2)$ et à droite $f'_d(2)$. 4. Dresser le tableau de variations de $f$ en précisant le signe de $f'(x)$. 5. Dresser le tableau de signe de $f$. 6. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leq 3$. --- ### Exercice ② On considère $f(x) = x\sqrt{3 - 2x}$. 1. Déterminer le domaine de définition $O_f$. 2. Calculer $f(x)$ (déjà donné). 3. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x = -\frac{3}{2}$ à gauche et interpréter graphiquement. 4. A. Montrer que pour tout $x \in O_f \setminus \{\frac{3}{2}\}$, $$f'(x) = \frac{3(1-x)}{\sqrt{3 - 2x}}.$$ B. Étudier les variations de $f$. C. Dresser le tableau de variations de $f$. --- ### Solutions détaillées : #### Exercice ① 1. **Calcul de $f'(1)$ et $f'(0)$ :** - $f'(1)$ est la pente de la tangente en $x=1$ sur la courbe. D'après la description, la tangente est horizontale près de $x=1.5$, donc en $x=1$ la pente est négative (descendante). Estimation graphique nécessaire. - $f'(0)$ est négative (tangente descendante). 2. **Dérivabilité en $x=2$ :** - Vérifier si la tangente est unique en $x=2$. - Si $f'_g(2) \neq f'_d(2)$, $f$ n'est pas dérivable en $2$. 3. **Calcul de $f'_g(2)$ et $f'_d(2)$ :** - $f'_g(2)$ est la pente limite à gauche de $2$. - $f'_d(2)$ est la pente limite à droite de $2$. - D'après la description, la pente change brusquement, donc $f'_g(2) \neq f'_d(2)$. 4. **Tableau de variations :** - Étudier le signe de $f'(x)$ sur les intervalles déduits de la courbe. - Par exemple, $f'(x) < 0$ sur $(-\infty, a)$, $f'(x) = 0$ en $a$, etc. 5. **Tableau de signe de $f$ :** - Identifier les intervalles où $f(x) > 0$, $f(x) = 0$, $f(x) < 0$. 6. **Résolution graphique de $f(x) \leq 3$ :** - Trouver les $x$ tels que la courbe est en dessous ou égale à la droite $y=3$. --- #### Exercice ② 1. **Domaine de définition $O_f$ :** - $f(x) = x\sqrt{3 - 2x}$. - La racine carrée impose $3 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{3}{2}$. - Donc $O_f = (-\infty, \frac{3}{2}]$. 2. **Calcul de $f(x)$ :** - Déjà donné. 3. **Dérivabilité en $x = -\frac{3}{2}$ à gauche :** - Étudier la limite de la dérivée à gauche. - Comme $x = -\frac{3}{2}$ est dans le domaine, vérifier si $f$ est dérivable à gauche. - Graphiquement, cela correspond à la pente de la tangente à ce point. 4. **Dérivée de $f$ :** A. Montrons que $$f'(x) = \frac{3(1-x)}{\sqrt{3 - 2x}}.$$ - $f(x) = x(3 - 2x)^{1/2}$. - Utilisons la règle du produit : $$f'(x) = (3 - 2x)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(3 - 2x)^{-1/2}(-2) = (3 - 2x)^{1/2} - \frac{x}{(3 - 2x)^{1/2}}.$$ - Mettons au même dénominateur : $$f'(x) = \frac{(3 - 2x) - x}{(3 - 2x)^{1/2}} = \frac{3 - 3x}{\sqrt{3 - 2x}} = \frac{3(1 - x)}{\sqrt{3 - 2x}}.$$ B. **Étude des variations :** - Le dénominateur $\sqrt{3 - 2x} > 0$ sur $O_f$. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $3(1-x)$. - $f'(x) > 0$ si $x < 1$, $f'(x) = 0$ si $x=1$, $f'(x) < 0$ si $x > 1$. C. **Tableau de variations :** - $f$ croissante sur $(-\infty, 1)$. - $f$ décroissante sur $(1, \frac{3}{2}]$. - Maximum local en $x=1$. --- **Réponses finales :** - $O_f = (-\infty, \frac{3}{2}]$. - $f'(x) = \frac{3(1-x)}{\sqrt{3 - 2x}}$. - $f$ est dérivable à gauche en $x = -\frac{3}{2}$. - $f$ est croissante sur $(-\infty, 1)$, décroissante sur $(1, \frac{3}{2}]$.