1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x) = \sqrt{1 + \cos(\pi x)}$ à gauche en $1$. 2. **Formule et règles importantes :** - La dérivabilité à gauche en $1$ signifie que la limite du taux d'accroissement à gauche existe : $$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$ - La fonction $f$ est composée de fonctions élémentaires dérivables sauf aux points où l'expression sous la racine peut s'annuler. 3. **Calcul de $f(1)$ :** $$f(1) = \sqrt{1 + \cos(\pi \times 1)} = \sqrt{1 + \cos(\pi)} = \sqrt{1 - 1} = 0$$ 4. **Étude de la limite du taux d'accroissement à gauche :** Pour $h < 0$ proche de $0$, on a : $$f(1+h) = \sqrt{1 + \cos(\pi (1+h))} = \sqrt{1 + \cos(\pi + \pi h)}$$ Or, $\cos(\pi + \pi h) = -\cos(\pi h)$, donc : $$f(1+h) = \sqrt{1 - \cos(\pi h)}$$ 5. **Développement de $\cos(\pi h)$ pour $h \to 0$ :** $$\cos(\pi h) = 1 - \frac{(\pi h)^2}{2} + o(h^2)$$ Donc : $$1 - \cos(\pi h) = 1 - \left(1 - \frac{\pi^2 h^2}{2} + o(h^2)\right) = \frac{\pi^2 h^2}{2} + o(h^2)$$ 6. **Approximation de $f(1+h)$ :** $$f(1+h) = \sqrt{\frac{\pi^2 h^2}{2} + o(h^2)} = |h| \frac{\pi}{\sqrt{2}} + o(|h|)$$ Pour $h < 0$, $|h| = -h$, donc : $$f(1+h) = -h \frac{\pi}{\sqrt{2}} + o(|h|)$$ 7. **Calcul du taux d'accroissement :** $$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{-h \frac{\pi}{\sqrt{2}} + o(|h|) - 0}{h} = - \frac{\pi}{\sqrt{2}} + o(1)$$ 8. **Conclusion sur la dérivabilité à gauche :** La limite existe et vaut : $$f'_-(1) = - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$ Donc, $f$ est dérivable à gauche en $1$ avec cette dérivée. --- **Réponse finale :** La fonction $f$ est dérivable à gauche en $1$ et $$f'_-(1) = - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$