1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{1+x}$ est dérivable. 2. Rappelons que pour montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il faut vérifier que chacune des fonctions composantes est dérivable et que leurs opérations (somme, différence) conservent la dérivabilité. 3. Étudions chaque terme : - La fonction $g(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ est composée de la fonction logarithme, dérivable sur $]0, +\infty[$, et de la fonction $h(x) = 1 + \frac{1}{x}$, dérivable sur $]0, +\infty[$. - La fonction $k(x) = \frac{1}{1+x}$ est dérivable sur $]-1, +\infty[$ sauf en $x = -1$. 4. Calculons la dérivée de $g(x)$ : $$ g'(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x}{x+1} \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x(x+1)} $$ 5. Calculons la dérivée de $k(x)$ : $$ k'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} $$ 6. La dérivée de $f(x)$ est donc : $$ f'(x) = g'(x) - k'(x) = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(1+x)^2} $$ 7. Simplifions $f'(x)$ : $$ f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{-(x+1) + x}{x(x+1)^2} = \frac{-x -1 + x}{x(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)^2} $$ 8. Conclusion : $f'(x)$ existe pour tout $x$ dans l'intervalle où $f$ est définie (c'est-à-dire $x > 0$ et $x \neq -1$), donc $f$ est dérivable sur cet intervalle.