1. Énonçons le problème : Nous avons trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par $$f(x) = x|x|, \quad g(x) = \frac{x}{1 + |x|}, \quad h(x) = \ln(1 + |x|).$$ Nous devons déterminer si ces fonctions sont dérivables en $0$. 2. Étudions la dérivabilité de $f$ en $0$ : - Pour $x \geq 0$, $|x| = x$, donc $f(x) = x \cdot x = x^2$. - Pour $x < 0$, $|x| = -x$, donc $f(x) = x \cdot (-x) = -x^2$. Calculons la limite du taux de variation à gauche et à droite en $0$ : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0,$$ $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} -h = 0.$$ Les deux limites sont égales à $0$, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. 3. Étudions la dérivabilité de $g$ en $0$ : $$g(x) = \frac{x}{1 + |x|}.$$ Calculons la limite du taux de variation à droite : $$g'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h/(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1.$$ Calculons la limite du taux de variation à gauche : $$g'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1 - h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h/(1 - h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1 - h} = 1.$$ Les deux limites sont égales à $1$, donc $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0) = 1$. 4. Étudions la dérivabilité de $h$ en $0$ : $$h(x) = \ln(1 + |x|).$$ Calculons la limite du taux de variation à droite : $$h'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(1 + h) - \ln(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(1 + h)}{h}.$$ Utilisons le développement limité de $\ln(1 + h) \approx h$ pour $h \to 0$, donc $$h'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.$$ Calculons la limite du taux de variation à gauche : $$h'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\ln(1 + |h|) - \ln(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\ln(1 - h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\ln(1 - h)}{h}.$$ Posons $k = -h > 0$, alors $$h'(0^-) = \lim_{k \to 0^+} \frac{\ln(1 + k)}{-k} = - \lim_{k \to 0^+} \frac{\ln(1 + k)}{k} = -1.$$ Les limites à droite et à gauche sont différentes ($1$ et $-1$), donc $h$ n'est pas dérivable en $0$. 5. Conclusion : - $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. - $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0) = 1$. - $h$ n'est pas dérivable en $0$.