1. Énonçons le problème : On considère une fonction définie sur les intervalles $(-\infty,-1)$ et $(0,+\infty)$, et on cherche à comprendre pourquoi elle n'est pas dérivable sur tout son domaine, ainsi que comment tracer son tableau de variation. 2. Rappel important : Une fonction est dérivable en un point si la limite du taux de variation (la dérivée) existe et est finie en ce point. Si la fonction a une discontinuité, un point anguleux, ou une asymptote verticale, elle ne sera pas dérivable en ce point. 3. Ici, la fonction est définie sur deux intervalles disjoints $(-\infty,-1)$ et $(0,+\infty)$, ce qui signifie qu'elle n'est pas définie sur l'intervalle $[-1,0]$. Cette discontinuité dans le domaine empêche la dérivabilité sur l'ensemble $[-1,0]$. 4. De plus, aux bornes $x=-1$ et $x=0$, la fonction peut ne pas être dérivable car il peut y avoir une discontinuité ou un saut de fonction. Il faut vérifier la limite à gauche et à droite en ces points. 5. Pour tracer le tableau de variation : - Étudier le signe de la dérivée sur chaque intervalle de définition. - Trouver les points critiques où la dérivée s'annule ou n'existe pas. - Étudier la limite de la fonction aux bornes des intervalles. - Construire le tableau en indiquant les intervalles, le signe de la dérivée, et le comportement de la fonction (croissante/décroissante). 6. En résumé, la fonction n'est pas dérivable sur tout son domaine car elle n'est pas définie sur un intervalle continu, et elle peut avoir des discontinuités ou points non dérivables aux bornes $-1$ et $0$. 7. Le tableau de variation se construit en analysant la dérivée sur chaque intervalle de définition et en notant les variations de la fonction en conséquence.