1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction $f$ représentée par la courbe $(C)$, avec une tangente $(T)$ au point $A(2;0)$. Nous devons déterminer le domaine de définition, calculer certaines limites, étudier le signe de $f$ et $f'$, calculer $f(2)$ et $f'(2)$, trouver une limite particulière, et enfin déterminer l'équation de la tangente $(T)$. 2. **Domaine de définition de $f$ :** Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie. D'après la courbe, $f$ semble définie pour tous les réels sauf peut-être en $x=3$ où une limite à gauche est demandée. Donc, le domaine est $\mathcal{D}_f = ]-\infty,3[$ ou $\mathbb{R}$ selon la fonction exacte. Sans expression explicite, on suppose $\mathcal{D}_f = ]-\infty,3[$. 3. **Calcul des limites :** - Limite à gauche en 3 : $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ - Limite à l'infini : $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ D'après la courbe, on lit que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty$ (la courbe monte vers $+\infty$ à gauche de 3). Pour $x \to -\infty$, la courbe semble tendre vers 0, donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. 4. **Étude du signe de $f(x)$ et $f'(x)$ :** - $f(x)$ est négative entre $]-\infty,1[$, positive entre $]1,3[$, et nulle en $x=1$ et $x=3$ (zéros de la fonction). - $f'(x)$ est le signe de la pente de la courbe : - $f'(x) > 0$ sur $]1,2[$ (croissance) - $f'(x) < 0$ sur $]2,3[$ (décroissance) - $f'(2) = 0$ car $(T)$ est tangente en $A(2;0)$. 5. **Calcul de $f(2)$ et $f'(2)$ :** - $f(2) = 0$ (point $A$ donné). - $f'(2)$ est la pente de la tangente $(T)$ en $x=2$. D'après la description, la tangente est décroissante, donc $f'(2) < 0$. Supposons $f'(2) = m$ avec $m$ négatif. 6. **Calcul de la limite $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$ :** Cette limite est la définition de la dérivée en 2 si $f(2)=0$ : $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2)$$ Donc $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = f'(2) = m$. 7. **Équation de la tangente $(T)$ :** La tangente en $x=2$ est donnée par : $$y = f(2) + f'(2)(x-2) = 0 + m(x-2) = m(x-2)$$ **Résumé final :** - Domaine : $\mathcal{D}_f = ]-\infty,3[$ - $\lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ - $f(2) = 0$ - $f'(2) = m$ (pente négative) - $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = m$ - Équation de $(T)$ : $y = m(x-2)$