1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que si la suite $\{a_n\}$ avec $a_n > 0$ converge vers $a$, alors la suite $\{\sqrt{a_n}\}$ converge vers $\sqrt{a}$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour une fonction continue $f$, si $a_n \to a$, alors $f(a_n) \to f(a)$. La racine carrée est continue sur $\mathbb{R}^+$. 3. **Démonstration** : - Puisque $a_n \to a$ et $a_n > 0$, on a $a \geq 0$. - La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$. - Par continuité, $\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} a_n} = \sqrt{a}$. 4. **Conclusion** : La suite $\{\sqrt{a_n}\}$ converge bien vers $\sqrt{a}$. --- 1. **Énoncé du problème 2** : Soient $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $l$ et $l'$, avec $l < l'$. Montrer qu'à partir d'un certain rang, $u_n < v_n$. 2. **Formule et règles importantes** : - Par définition de la limite, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N_1$ tel que $\forall n \geq N_1$, $|u_n - l| < \varepsilon$. - De même, il existe $N_2$ tel que $\forall n \geq N_2$, $|v_n - l'| < \varepsilon$. 3. **Démonstration** : - Choisissons $\varepsilon = \frac{l' - l}{3} > 0$. - Alors, pour $n \geq N = \max(N_1, N_2)$, on a $$u_n < l + \varepsilon = l + \frac{l' - l}{3}$$ $$v_n > l' - \varepsilon = l' - \frac{l' - l}{3}$$ - Or, $$l + \frac{l' - l}{3} < l' - \frac{l' - l}{3}$$ car $l' - l > 0$. - Donc, pour $n \geq N$, $u_n < v_n$. 4. **Conclusion** : À partir d'un certain rang, $u_n < v_n$. --- 1. **Énoncé du problème 3** : Soient $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ deux suites réelles telles que $\{u_n + v_n\}$ et $\{u_n - v_n\}$ convergent. Montrer que $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ convergent. 2. **Formule et règles importantes** : - Si deux suites convergent, leurs sommes et différences convergent aussi. - Réciproquement, si $u_n + v_n$ et $u_n - v_n$ convergent, on peut retrouver $u_n$ et $v_n$ par combinaison linéaire. 3. **Démonstration** : - Posons $s_n = u_n + v_n$ et $d_n = u_n - v_n$. Par hypothèse, $s_n \to s$ et $d_n \to d$. - On a $$u_n = \frac{s_n + d_n}{2}$$ $$v_n = \frac{s_n - d_n}{2}$$ - Comme $s_n \to s$ et $d_n \to d$, par propriétés des limites, $$u_n \to \frac{s + d}{2}$$ $$v_n \to \frac{s - d}{2}$$ - Donc $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ convergent. 4. **Conclusion** : Les suites $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ convergent. **Réponse finale** : 1) $\lim \sqrt{a_n} = \sqrt{a}$. 2) $\exists N, \forall n \geq N, u_n < v_n$. 3) $\{u_n\}$ et $\{v_n\}$ convergent.