1. **Énoncé du problème** : Montrer que les suites $(u_n)_{n\geq1}$ et $(v_n)_{n\geq1}$ définies par $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$ et $$v_n = u_n + \frac{1}{n}$$ sont convergentes et ont la même limite. 2. **Étudions la suite $(u_n)$ :** La suite $(u_n)$ est une somme partielle de la série convergente $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$$. Cette série est une série p de terme général $\frac{1}{k^2}$ avec $p=2 > 1$, donc elle converge absolument. Ainsi, la limite $$u = \lim_{n\to\infty} u_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$$ existe et est finie. 3. **Étudions la suite $(v_n)$ :** On a $$v_n = u_n + \frac{1}{n}$$. Puisque $$\lim_{n\to\infty} u_n = u$$ existe et $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$$, on peut appliquer la limite sur la somme : $$\lim_{n\to\infty} v_n = \lim_{n\to\infty} u_n + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = u + 0 = u.$$ 4. **Conclusion :** Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent donc vers la même limite finie $u$, la somme de la série $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$$.