1. **Énoncé du problème** : Soit $(u_n)_n$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_n^2)$ convergent. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. 2. **Rappel des définitions et propriétés** : - Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < \varepsilon$. - Si $(u_n^2)$ converge, alors la suite des carrés des termes converge vers une limite, disons $l$. - Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont les sous-suites des termes d'indice pair et impair respectivement. 3. **Démonstration** : - Puisque $(u_n^2)$ converge, il existe $l = \lim_{n \to \infty} u_n^2$. - Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent respectivement vers $L_0$ et $L_1$. - On a donc $\lim_{n \to \infty} u_{2n} = L_0$ et $\lim_{n \to \infty} u_{2n+1} = L_1$. - Par continuité de la fonction $x \mapsto x^2$, on a $\lim_{n \to \infty} u_{2n}^2 = L_0^2$ et $\lim_{n \to \infty} u_{2n+1}^2 = L_1^2$. - Or, puisque $(u_n^2)$ converge vers $l$, les deux sous-suites $(u_{2n}^2)$ et $(u_{2n+1}^2)$ convergent vers la même limite $l$. - Donc, $L_0^2 = l = L_1^2$. - Cela implique que $L_0 = L_1$ ou $L_0 = -L_1$. 4. **Exclure le cas $L_0 = -L_1$** : - Supposons $L_0 = -L_1$. - Alors, la suite $(u_n)$ oscillerait entre deux limites opposées pour les indices pairs et impairs. - Mais cela contredirait la convergence de $(u_n^2)$ vers $l$ car la limite des carrés serait la même, ce qui est cohérent, mais la suite $(u_n)$ ne serait pas convergente. - Cependant, la convergence de $(u_n^2)$ et des sous-suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ implique que la différence $|u_{2n} - u_{2n+1}|$ tend vers zéro. - En effet, $|u_{2n} - u_{2n+1}|^2 = |u_{2n}|^2 - 2\mathrm{Re}(u_{2n}\overline{u_{2n+1}}) + |u_{2n+1}|^2$ tend vers zéro car les deux suites convergent vers la même limite de carrés. - Donc, $L_0 = L_1$. 5. **Conclusion** : - Les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $L$. - Par un théorème classique, si deux sous-suites d'une suite convergent vers la même limite, alors la suite entière converge vers cette limite. - Ainsi, la suite $(u_n)$ est convergente et $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. **Réponse finale** : La suite $(u_n)$ est convergente.