1. Énoncé du problème : Étudier la convergence des séries suivantes : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^n}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \ln(1+e^{-n}), \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{3/2}}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n^3}{n!}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\ln(n^2+2)}$$ 2. Rappel des critères de convergence importants : - Série de terme général $a_n$ converge si $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ et si la série satisfait un critère (comparaison, d'Alembert, racine, alternée, etc.). - Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^p}$ converge si et seulement si $p > 1$. - Série exponentielle $\sum \frac{e^n}{n!}$ converge absolument (série de Taylor de $e^e$). - Séries alternées convergent si les termes décroissent vers 0. 3. Étude de chaque série : **a)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$. - C'est une série de Riemann avec $p=\frac{1}{2} < 1$. - Donc, elle diverge. **b)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3}$. - Pour $n$ grand, $\frac{(2n)^4}{(7n^2)^3} = \frac{16 n^4}{343 n^6} = \frac{16}{343 n^2}$. - Série comparable à $\sum \frac{1}{n^2}$ qui converge. - Donc, cette série converge. **c)** $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^n}{n!}$. - C'est la série de Taylor de $e^e$. - Elle converge absolument. **d)** $\sum_{n=0}^{\infty} \ln(1+e^{-n})$. - Pour $n$ grand, $e^{-n} \to 0$, donc $\ln(1+e^{-n}) \sim e^{-n}$. - Série comparable à $\sum e^{-n}$ qui converge. - Donc, cette série converge. **e)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{3/2}}$. - $\ln(n)$ croît lentement, $n^{3/2}$ domine. - Série comparable à $\sum \frac{1}{n^{3/2 - \epsilon}}$ avec $\epsilon$ petit. - Comme $3/2 > 1$, la série converge. **f)** $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n^3}{n!}$. - $\frac{n^3}{n!} \to 0$ très vite car $n!$ croît plus vite que $n^3$. - Série absolument convergente. **g)** $\sum_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$. - $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \to e^{-1}$. - Donc $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right]^n \to e^{-n}$. - Série comparable à $\sum e^{-n}$ qui converge. **h)** $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\ln(n^2+2)}$. - Pour $n$ grand, $\ln(n^2+2) \sim 2 \ln(n)$. - Série comparable à $\sum \frac{1}{\ln(n)}$ qui diverge lentement. - Donc, cette série diverge. 4. Résumé : - Divergent : $\sum \frac{2}{\sqrt{n}}$, $\sum \frac{1}{\ln(n^2+2)}$. - Convergent : les autres séries.