1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 - \sqrt{1 - x^2}}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ est continue sur $[-1,1]$. 2. **Continuité sur $[-1,1]$ :** Pour montrer que $f$ est continue sur $[-1,1]$, il suffit de vérifier la continuité en $x=0$ car $f$ est définie par une expression rationnelle composée de fonctions continues sur $[-1,1]\setminus\{0\}$. 3. **Calcul de la limite en $0$ :** Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 - \sqrt{1 - x^2}}}.$$ 4. **Développement de $\sqrt{1 - x^2}$ près de $0$ :** $$\sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4).$$ 5. **Calcul de l'expression sous la racine :** $$1 + x^2 - \sqrt{1 - x^2} = 1 + x^2 - \left(1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)\right) = x^2 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) = \frac{3}{2} x^2 + o(x^2).$$ 6. **Racine carrée de cette expression :** $$\sqrt{1 + x^2 - \sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\frac{3}{2} x^2 + o(x^2)} = |x| \sqrt{\frac{3}{2}} + o(|x|).$$ 7. **Limite de $f(x)$ en $0$ :** $$f(x) = \frac{x}{|x| \sqrt{\frac{3}{2}} + o(|x|)} = \frac{x}{|x|} \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} + o(1).$$ Pour $x \to 0^+$, $\frac{x}{|x|} = 1$, donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}.$$ Pour $x \to 0^-$, $\frac{x}{|x|} = -1$, donc $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\sqrt{\frac{2}{3}}.$$ 8. **Conclusion sur la continuité :** Les limites à gauche et à droite en $0$ ne sont pas égales, donc $f$ n'est pas continue en $0$. **Remarque :** La définition $f(0) = 0$ ne correspond pas à la limite à gauche ni à la limite à droite, donc $f$ n'est pas continue en $0$. --- **Slug:** continuité fonction **Subject:** analyse **desmos:** {"latex":"f(x)=\frac{x}{\sqrt{1 + x^2 - \sqrt{1 - x^2}}}","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 2