1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par $$f(h) = \begin{cases} 2 \sqrt{h^2+1} \arctan(h), & h \geq 0 \\ \sqrt[3]{-h} + \sqrt[3]{-h} + h, & h < 0 \end{cases}$$ au point $a=0$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier la continuité en $a=0$, il faut vérifier que $$\lim_{h \to 0^-} f(h) = f(0) = \lim_{h \to 0^+} f(h).$$ 3. **Calcul de $f(0)$ :** Puisque $0 \geq 0$, on utilise la définition pour $h \geq 0$ : $$f(0) = 2 \sqrt{0^2 + 1} \arctan(0) = 2 \times 1 \times 0 = 0.$$ 4. **Calcul de la limite à gauche $h \to 0^-$ :** Pour $h < 0$, $$f(h) = \sqrt[3]{-h} + \sqrt[3]{-h} + h = 2 \sqrt[3]{-h} + h.$$ Quand $h \to 0^-$, $-h \to 0^+$ donc $$\lim_{h \to 0^-} f(h) = 2 \times 0 + 0 = 0.$$ 5. **Calcul de la limite à droite $h \to 0^+$ :** Pour $h \to 0^+$, $$f(h) = 2 \sqrt{h^2 + 1} \arctan(h).$$ Quand $h \to 0$, $\sqrt{h^2 + 1} \to 1$ et $\arctan(h) \to 0$, donc $$\lim_{h \to 0^+} f(h) = 2 \times 1 \times 0 = 0.$$ 6. **Conclusion sur la continuité :** Les limites à gauche et à droite sont égales à $f(0)$, donc $$f \text{ est continue en } 0.$$