1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité, calculer les dérivées partielles, étudier la différentiabilité et vérifier si la fonction $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x,y) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{y}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases}$$ est continue, différentiable et de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$. 2. **Continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^2$ :** - Pour $x \neq 0$, $f$ est composée de fonctions continues ($x^2$, $\sin$ et division par $x$ non nul), donc continue. - Pour $x=0$, on doit vérifier la limite $$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f(x,y) = ?$$ - Calculons $$|f(x,y)| = |x^2 \sin(\frac{y}{x})| \leq |x^2|$$ - Comme $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$, la limite est 0 quel que soit $y$, donc $$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f(x,y) = 0 = f(0,y_0)$$ - Donc $f$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^2$. 3. **Calcul des dérivées partielles :** - Pour $x \neq 0$ : - $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin(\frac{y}{x}) + x^2 \cos(\frac{y}{x}) \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = 2x \sin(\frac{y}{x}) - y \cos(\frac{y}{x})$ - $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cos(\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x} = x \cos(\frac{y}{x})$ - Pour $x=0$ : - $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,y)-f(0,y)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{y}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{y}{h}) = 0$ - $\frac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,y+k)-f(0,y)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0-0}{k} = 0$ 4. **Différentiabilité de $f$ en $(0,y)$ :** - La différentielle candidate est $$L(h,k) = \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) h + \frac{\partial f}{\partial y}(0,y) k = 0$$ - Vérifions $$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|f(h,k) - f(0,y) - L(h,k)|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h^2 \sin(\frac{k}{h})|}{\sqrt{h^2 + k^2}} \leq \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{h^2}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$$ - Donc $f$ est différentiable en $(0,y)$. 5. **Classe $C^1$ :** - Pour $x \neq 0$, $f$ est $C^\infty$ car composée de fonctions élémentaires. - En $x=0$, les dérivées partielles sont continues en $(0,y)$ ? - Par exemple, $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x \sin(\frac{y}{x}) - y \cos(\frac{y}{x})$ ne tend pas vers 0 quand $(x,y) \to (0,0)$ car $-y \cos(\frac{y}{x})$ oscille. - Donc $\frac{\partial f}{\partial x}$ n'est pas continue en $(0,0)$. - Conclusion : $f$ n'est pas de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$. **Réponse finale :** - $f$ est continue et différentiable sur $\mathbb{R}^2$. - $f$ n'est pas de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.