1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \cos(x_1)$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. La question est de savoir si $f$ est continue en $0$. 2. Rappel de la définition de la continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. 3. Calcul de la limite de $f(x)$ lorsque $x \to 0$ : Puisque $f(x) = \cos(x_1)$ pour $x \neq 0$, on étudie $\lim_{x \to 0} \cos(x_1)$. 4. Comme $x_1 \to 0$ quand $x \to 0$, on a $$\lim_{x \to 0} \cos(x_1) = \cos(0) = 1.$$ 5. Valeur de la fonction en $0$ : $f(0) = 0$. 6. Conclusion : La limite de $f(x)$ en $0$ est $1$ alors que $f(0) = 0$. Donc $$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0),$$ ce qui signifie que $f$ n'est pas continue en $0$. Réponse finale : La fonction $f$ n'est pas continue en $0$.