1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{9+x} - 3}{x^2 + x}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{6}, & x = 0 \end{cases}$$ **a) Continuité en $x_0 = 0$ :** 1. Calculons la limite de $f(x)$ quand $x \to 0$. 2. Simplifions l'expression pour $x \neq 0$ : $$f(x) = \frac{\sqrt{9+x} - 3}{x^2 + x} = \frac{(\sqrt{9+x} - 3)(\sqrt{9+x} + 3)}{(x^2 + x)(\sqrt{9+x} + 3)} = \frac{9 + x - 9}{x(x+1)(\sqrt{9+x} + 3)} = \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{9+x} + 3)}$$ 3. Simplifions le numérateur et dénominateur : $$f(x) = \frac{1}{(x+1)(\sqrt{9+x} + 3)}$$ 4. Calculons la limite quand $x \to 0$ : $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{(0+1)(\sqrt{9+0} + 3)} = \frac{1}{1 \times (3 + 3)} = \frac{1}{6}$$ 5. Comme $f(0) = \frac{1}{6}$, la fonction est continue en $x=0$. **b) Dérivabilité en $x_0 = 1$ :** 1. Pour $x \neq 0$, on a $$f(x) = \frac{\sqrt{9+x} - 3}{x^2 + x}$$ 2. Calculons $f'(x)$ en utilisant la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{9+x}})(x^2 + x) - (\sqrt{9+x} - 3)(2x + 1)}{(x^2 + x)^2}$$ 3. Évaluons $f'(1)$ : - $\sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ - $x^2 + x = 1 + 1 = 2$ - $2x + 1 = 2 + 1 = 3$ $$f'(1) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{10}} \times 2 - (\sqrt{10} - 3) \times 3}{2^2} = \frac{\frac{2}{2\sqrt{10}} - 3\sqrt{10} + 9}{4} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}} - 3\sqrt{10} + 9}{4}$$ 4. La dérivée existe donc en $x=1$. 2. **Calcul des limites :** **a)** $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4x} + \sqrt[4]{4x + 1} - 5}{x - 2}$$ 1. Posons $g(x) = \sqrt[3]{4x} + \sqrt[4]{4x + 1}$. 2. Calculons $g(2) = \sqrt[3]{8} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt[4]{9}$. 3. Comme $\sqrt[4]{9} \approx 1.732$, $g(2) \approx 3.732$, donc $g(2) - 5 \approx -1.268$. 4. La limite est de la forme $\frac{g(x) - 5}{x - 2}$, qui est la dérivée de $g$ en 2 si $g(2) = 5$. 5. Or $g(2) \neq 5$, donc la limite est une forme $\frac{\text{non nul}}{0}$, donc la limite est infinie ou n'existe pas. **b)** $$\lim_{x \to 2} (\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^3})$$ 1. Calculons la limite directement : $$\sqrt{1 + 4} - \sqrt{1 - 8} = \sqrt{5} - \sqrt{-7}$$ 2. Comme $\sqrt{-7}$ n'est pas réel, la limite n'existe pas dans $\mathbb{R}$. 3. **Résolution dans $\mathbb{R}$ :** **a)** Résoudre $$\sqrt{x + 2} - 4 \sqrt{x + 2} + 3 = 0$$ 1. Simplifions : $$-3 \sqrt{x + 2} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 2} = 1$$ 2. Élevons au carré : $$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$$ **b)** Résoudre $$(x + 1)^5 \leq 32$$ 1. $32 = 2^5$, donc $$(x + 1)^5 \leq 2^5 \Rightarrow x + 1 \leq 2$$ 2. Comme la fonction $t \mapsto t^5$ est strictement croissante, $$x \leq 1$$ --- **Slug:** "continuité dérivabilité" **Subject:** "analyse" **Desmos:** {"latex":"f(x)=\frac{\sqrt{9+x}-3}{x^2+x}","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 3