1. **Énoncé du problème :** Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction $f_a(x) = e^{-ax}$ définie sur $[0, 2\pi[$, périodique de période $2\pi$. 2. **Formule des coefficients de Fourier réels :** Pour une fonction $f$ périodique de période $2\pi$, les coefficients sont donnés par : $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$ 3. **Calcul de $a_0$ :** $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{-ax}}{-a} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \frac{1 - e^{-2a\pi}}{a}$$ 4. **Calcul de $a_n$ :** $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{-ax} \cos(nx) \, dx$$ Utilisons la formule d'intégration pour $\int e^{mx} \cos(nx) dx = \frac{e^{mx}(m \cos(nx) + n \sin(nx))}{m^2 + n^2}$ avec $m = -a$ : $$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{-ax}(-a \cos(nx) + n \sin(nx))}{a^2 + n^2} \right]_0^{2\pi}$$ Calculons les bornes : $$= \frac{1}{\pi} \frac{1}{a^2 + n^2} \left( e^{-2a\pi}(-a \cos(2n\pi) + n \sin(2n\pi)) - (-a \cos(0) + n \sin(0)) \right)$$ Sachant que $\cos(2n\pi) = 1$ et $\sin(2n\pi) = 0$, $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$ : $$= \frac{1}{\pi} \frac{1}{a^2 + n^2} \left( e^{-2a\pi}(-a) - (-a) \right) = \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2 + n^2} (1 - e^{-2a\pi})$$ 5. **Calcul de $b_n$ :** $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{-ax} \sin(nx) \, dx$$ De même, avec la formule d'intégration : $$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{-ax}(-a \sin(nx) - n \cos(nx))}{a^2 + n^2} \right]_0^{2\pi}$$ Aux bornes : $$= \frac{1}{\pi} \frac{1}{a^2 + n^2} \left( e^{-2a\pi}(-n) - (-n) \right) = \frac{n}{\pi (a^2 + n^2)} (1 - e^{-2a\pi})$$ 6. **Conclusion :** Les coefficients de Fourier réels de $f_a(x) = e^{-ax}$ sur $[0, 2\pi[$ sont : $$a_0 = \frac{1 - e^{-2a\pi}}{2\pi a}$$ $$a_n = \frac{a}{\pi (a^2 + n^2)} (1 - e^{-2a\pi})$$ $$b_n = \frac{n}{\pi (a^2 + n^2)} (1 - e^{-2a\pi})$$ Ces coefficients permettent de reconstruire la fonction périodique par la série de Fourier réelle.