1. Énoncé du problème : Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément et le plus petit élément de l'ensemble $$A = \left\{ \frac{m}{m+n} \mid m,n \in \mathbb{N}^* \right\}$$ où $\mathbb{N}^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls. 2. Analyse de l'ensemble $A$: Par définition, $m$ et $n$ sont strictement positifs. L'expression est $\frac{m}{m+n}$. Puisque $m,n > 0$, alors $m+n > m$, donc : $$0 < \frac{m}{m+n} < 1$$ 3. Étude des bornes : - La borne inférieure est le plus petit réel inférieur ou égal à tous les éléments de $A$. - La borne supérieure est le plus grand réel supérieur ou égal à tous les éléments de $A$. 4. Recherche du plus petit élément et de la borne inférieure : Pour approcher 0, on peut fixer $m=1$ et faire $n \to +\infty$ : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+n} = 0$$ Aucun élément de $A$ n'est égal à 0 car $m,n \geq 1$. Donc 0 est la borne inférieure, mais pas un élément de $A$. 5. Recherche du plus grand élément et de la borne supérieure : Pour approcher 1, on peut fixer $n=1$ et faire $m \to +\infty$ : $$\lim_{m \to +\infty} \frac{m}{m+1} = 1$$ Le nombre 1 n'appartient pas à $A$ puisque cela impliquerait $\frac{m}{m+n} = 1$, donc $n=0$ ce qui est impossible car $n \geq 1$. Donc 1 est la borne supérieure, mais pas un élément de $A$. 6. Conclusion : - Borne inférieure de $A$ est 0, non atteint. - Borne supérieure de $A$ est 1, non atteinte. - Il n'existe ni plus petit élément ni plus grand élément dans $A$. Réponse finale : $$\inf A = 0, \quad \sup A = 1, \quad \text{Pas de plus petit ni plus grand élément dans } A.$$