1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout entier $n$, on a $0 < u_n < 3$ où la suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 3}$.\n\n2. Vérifions d'abord la validité à l'indice initial : $u_0 = 1$, clairement $0 < 1 < 3$.\n\n3. Supposons que pour un certain $n$, on a $0 < u_n < 3$. Utilisons cette hypothèse pour montrer que $0 < u_{n+1} < 3$.\n\n4. Puisque $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 3}$, et que $u_n > 0$, alors $u_n + 3 > 3$, donc $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 3} > \sqrt{3} > 0$, donc $u_{n+1} > 0$.\n\n5. Pour la borne supérieure, puisque $u_n < 3$, alors $u_n + 3 < 6$, donc $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 3} < \sqrt{6}$. Notons que $\sqrt{6} \approx 2,45 < 3$, donc $u_{n+1} < 3$.\n\n6. Par conséquent, $0 < u_{n+1} < 3$.\n\n7. Ainsi, par récurrence, pour tout entier $n$, on a $0 < u_n < 3$.