1. Énoncé du problème. On cherche à trouver une approximation rationnelle de $\pi$. On doit calculer $$I=\int_0^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \sin(2\pi x)\,dx$$ et en déduire une expression de $\pi$ en fonction de $I$. 2. Calcul de $I$. On factorise la constante: $I=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{1}{4}} \sin(2\pi x)\,dx$. Une primitive de $\sin(2\pi x)$ est $$-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)$$ On évalue sur les bornes et on obtient $$I=\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_0^{\frac{1}{4}}$$ On calcule les cosinus: $\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ et $\cos(0)=1$. Donc $$I=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2\pi}(0-1)\right)=\frac{1}{8\pi}$$ On en déduit l'expression de $\pi$: $$\pi=\frac{1}{8I}$$ 3. Polynôme d'interpolation de Lagrange $P$. On note $f(x)=\frac{1}{4}\sin(2\pi x)$ et les points $x_0=0$, $x_1=\frac{1}{12}$, $x_2=\frac{1}{4}$. On calcule les valeurs: $f(0)=0$, $f\left(\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{8}$, $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{4}$. Le terme en $x_0$ est nul car $f(0)=0$. Le polynôme de Lagrange s'écrit donc $P(x)=f(x_1)\ell_1(x)+f(x_2)\ell_2(x)$, où $$\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\qquad \ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$ On calcule les dénominateurs explicitement: $(x_1-x_0)(x_1-x_2)=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{1}{72}$ et $(x_2-x_0)(x_2-x_1)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$. Ainsi $$\ell_1(x)=-72x(x-\tfrac{1}{4})=-72x^2+18x$$ et $$\ell_2(x)=24x\left(x-\tfrac{1}{12}\right)=24x^2-2x$$ On multiplie par les valeurs correspondantes: $f(x_1)=\tfrac{1}{8}$ et $f(x_2)=\tfrac{1}{4}$. On obtient $$P(x)=\tfrac{1}{8}(-72x^2+18x)+\tfrac{1}{4}(24x^2-2x)=-9x^2+\tfrac{9}{4}x+6x^2-\tfrac{1}{2}x$$ En simplifiant on trouve $$P(x)=-3x^2+\tfrac{7}{4}x$$ On vérifie rapidement: $P(0)=0$, $P\left(\tfrac{1}{12}\right)=-3\left(\tfrac{1}{12}\right)^2+\tfrac{7}{4}\cdot\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{8}$ et $P\left(\tfrac{1}{4}\right)=-3\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\tfrac{7}{4}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}$, ce qui coïncide avec les valeurs de $f$. Conclusion: $I=\tfrac{1}{8\pi}$, donc $\pi=\tfrac{1}{8I}$, et le polynôme d'interpolation est $P(x)=-3x^2+\tfrac{7}{4}x$.