1. Énoncé du problème : Tracer la fonction $y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}$. 2. Domaine de définition : la racine cubique est définie pour tout réel, mais le dénominateur s'annule si $x^{2}-1=0$ ce qui donne $x=\pm 1$ et rend la fonction non définie. 3. Donc le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{ -1,1\}$. 4. Parité : on vérifie $f(-x)=-f(x)$ donc la fonction est impaire. 5. Intersections avec les axes : pour $x=0$ on a $y=0$ donc l'origine $(0,0)$ est un point de la courbe. 6. Asymptotes verticales en $x=\pm 1$ : en approchant $x\to 1^{+}$ on a $x^{2}-1\sim 2(x-1)>0$ donc $y\to +\infty$. 7. Pour $x\to 1^{-}$ on a $x^{2}-1\sim 2(x-1)<0$ donc $y\to -\infty$. 8. En $x=-1$ la même analyse donne $y\to -\infty$ pour $x\to -1^{+}$ et $y\to +\infty$ pour $x\to -1^{-}$. 9. Dérivée : on pose $f(x)=x(x^{2}-1)^{-1/3}$ et on applique la règle du produit et la chaîne. $$f'(x)=(x^{2}-1)^{-1/3}+x\left(-\tfrac{1}{3}\right)(x^{2}-1)^{-4/3}\cdot 2x$$ 10. Simplification de la dérivée : $$f'(x)=\frac{x^{2}-3}{3(x^{2}-1)^{4/3}}$$ 11. Analyse du signe de $f'$ : le dénominateur est strictement positif sur le domaine, donc le signe de $f'$ est le signe de $x^{2}-3$. 12. Points critiques : $f'(x)=0$ pour $x=\pm\sqrt{3}$ et $f'$ est indéfinie en $x=\pm 1$ (points hors domaine). 13. Monotonie : $f'(x)>0$ pour $|x|>\sqrt{3}$ et $f'(x)<0$ pour $|x|<\sqrt{3}$ (en tenant compte des singularités en $\pm 1$), donc la fonction est croissante sur $(-\infty,-\sqrt{3})$ et $(\sqrt{3},\infty)$ et décroissante sur $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ en excluant $\pm 1$. 14. Nature des extrema : $x=-\sqrt{3}$ est un maximum local et $x=\sqrt{3}$ est un minimum local. 15. Valeurs aux extrema : $$f(\pm\sqrt{3})=\pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}$$ 16. Comportement à l'infini : pour $|x|\to\infty$ on a $y\sim x^{1/3}$, donc pas d'asymptote horizontale fixe, la courbe croît en valeur absolue comme la racine cubique de $|x|$. 17. Instructions pratiques pour tracer : entrer la formule $y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}$ dans un traceur, tracer les asymptotes verticales $x=\pm 1$, marquer l'origine $(0,0)$ et les extrema en $x=\pm\sqrt{3}$, utiliser par exemple la fenêtre $x\in[-6,6]$ et $y\in[-4,4]$ pour voir le comportement global. 18. Résumé final : fonction impaire, domaine $\mathbb{R}\setminus\{ -1,1\}$, asymptotes verticales en $x=\pm1$, zéro en $(0,0)$, maximum local en $x=-\sqrt{3}$ et minimum local en $x=\sqrt{3}$, décroissante pour $|x|<\sqrt{3}$ (hors singularités) et croissante pour $|x|>\sqrt{3}$.