1. Énoncé du problème: On considère l'approximation de l'intégrale $I(f)=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ par la formule $I(f)\approx \alpha f(-1/2)+\beta f(0)+\gamma f(1/2)$ et on note $J=\int_{-1}^{1} P(x)\,dx$ où $P$ est le polynôme interpolant en $-1/2,0,1/2$. 2. Calcul du polynôme interpolant $P$ qui interpole $f$ aux points $x_1=-1/2$, $x_2=0$, $x_3=1/2$. Les polynômes de base de Lagrange sont: $$L_1(x)=\frac{(x-0)(x-1/2)}{(-1/2-0)(-1/2-1/2)}=2x(x-1/2)=2x^2-x$$ $$L_2(x)=\frac{(x+1/2)(x-1/2)}{(0+1/2)(0-1/2)}=1-4x^2$$ $$L_3(x)=\frac{(x+1/2)(x-0)}{(1/2+1/2)(1/2-0)}=2x(x+1/2)=2x^2+x$$ Le polynôme interpolant s'écrit alors $$P(x)=f(-1/2)L_1(x)+f(0)L_2(x)+f(1/2)L_3(x)$$ Après regroupement en puissances de $x$ on obtient $$P(x)=2\big(f(-1/2)-2f(0)+f(1/2)\big)x^2+\big(-f(-1/2)+f(1/2)\big)x+f(0)$$ 3. Calcul de $J=\int_{-1}^{1} P(x)\,dx$ et détermination de $\alpha,\beta,\gamma$. On intègre terme à terme en utilisant $\int_{-1}^{1} x^2\,dx=2/3$, $\int_{-1}^{1} x\,dx=0$, $\int_{-1}^{1} 1\,dx=2$. Donc $$J=2\big(f(-1/2)-2f(0)+f(1/2)\big)\cdot\frac{2}{3}+\big(-f(-1/2)+f(1/2)\big)\cdot 0+f(0)\cdot 2$$ Ce qui donne $$J=\tfrac{4}{3}f(-1/2)-\tfrac{8}{3}f(0)+\tfrac{4}{3}f(1/2)+2f(0)=\tfrac{4}{3}f(-1/2)-\tfrac{2}{3}f(0)+\tfrac{4}{3}f(1/2)$$ En comparant avec $J=\alpha f(-1/2)+\beta f(0)+\gamma f(1/2)$ on obtient $$\alpha=\tfrac{4}{3},\quad \beta=-\tfrac{2}{3},\quad \gamma=\tfrac{4}{3}$$ 4. Rappel et calcul de l'affine $x=Au+B$ qui envoie $u\in[-1,1]$ sur $x\in[a,b]$. On impose $-A+B=a$ et $A+B=b$. En additionnant on obtient $2B=a+b$ donc $B=\tfrac{a+b}{2}$. En soustrayant on obtient $2A=b-a$ donc $A=\tfrac{b-a}{2}$. 5. Changement de variable dans la formule (1) et formule sur $[a,b]$. Avec $x=Au+B$ et $A=\tfrac{b-a}{2}$, $B=\tfrac{a+b}{2}$ on a $dx=A\,du$ et $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_{-1}^{1} f(Au+B)A\,du\approx A\big(\alpha f(A(-1/2)+B)+\beta f(B)+\gamma f(A(1/2)+B)\big)$$ Les nœuds se simplifient en $$A(-1/2)+B=\tfrac{3a+b}{4},\quad B=\tfrac{a+b}{2},\quad A(1/2)+B=\tfrac{a+3b}{4}$$ Donc l'approximation sur $[a,b]$ est $$\int_a^b f(x)\,dx\approx \tfrac{b-a}{2}\Big(\tfrac{4}{3}f\big(\tfrac{3a+b}{4}\big)-\tfrac{2}{3}f\big(\tfrac{a+b}{2}\big)+\tfrac{4}{3}f\big(\tfrac{a+3b}{4}\big)\Big)$$ 6. Application numérique pour $\int_0^1 \dfrac{\sin(\pi t)}{(t(1-t))^{3/2}}\,dt$ par la formule précédente. Ici $a=0$, $b=1$, donc $A=\tfrac{1}{2}$, les nœuds sont $1/4,1/2,3/4$ et le facteur $A=1/2$. La formule donne $$I\approx \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{4}{3}f(1/4)-\tfrac{2}{3}f(1/2)+\tfrac{4}{3}f(3/4)\Big)$$ Calcul des valeurs ponctuelles. Pour $t=1/4$ on a $t(1-t)=3/16$ donc $$f(1/4)=\dfrac{\sin(\pi/4)}{(3/16)^{3/2}}=\dfrac{\sqrt{2}/2}{\dfrac{3\sqrt{3}}{64}}=\dfrac{32\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{32}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$$ Pour $t=1/2$ on a $t(1-t)=1/4$ et donc $$f(1/2)=\dfrac{\sin(\pi/2)}{(1/4)^{3/2}}=\dfrac{1}{(1/8)}=8$$ Pour $t=3/4$ on retrouve $f(3/4)=f(1/4)=\dfrac{32}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ par symétrie. En remplaçant dans la formule on obtient $$I\approx \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{4}{3}\cdot 2\cdot\dfrac{32}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\tfrac{2}{3}\cdot 8\Big)=\tfrac{4}{3}\cdot\dfrac{32}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\tfrac{8}{3}$$ Soit sous forme simplifiée $$I\approx \dfrac{128}{9}\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3}\approx 8.952894\quad(\text{valeur approchée})$$ 7. Formule composite sur la subdivision de $[-1,1]$ en $k$ sous-intervalles de longueur $h=2/k$. Noter $x_l=-1+\tfrac{2l}{k}$ pour $l=0,\dots,k$ et $h=\tfrac{2}{k}$. En appliquant la formule sur chaque sous-intervalle $[x_l,x_{l+1}]$ on obtient la règle composite $$F=\sum_{l=0}^{k-1} \tfrac{h}{2}\Big(\tfrac{4}{3}f\big(x_l+\tfrac{h}{4}\big)-\tfrac{2}{3}f\big(x_l+\tfrac{h}{2}\big)+\tfrac{4}{3}f\big(x_l+\tfrac{3h}{4}\big)\Big)$$ On peut noter que $\tfrac{h}{2}=\tfrac{1}{k}$ et que les nœuds relatifs sur chaque sous-intervalle sont $x_l+h/4$, $x_l+h/2$, $x_l+3h/4$. 8. Programme Matlab (fonction) pour calculer $F$ par la règle composite. function F = composite_rule(f,k) % f : handle de la fonction à intégrer sur [-1,1] % k : nombre de sous-intervalles (entier >=1) alpha = 4/3; beta = -2/3; gamma = 4/3; h = 2/k; F = 0; for l = 0:(k-1) xl = -1 + 2*l/k; x1 = xl + h/4; x2 = xl + h/2; x3 = xl + 3*h/4; F = F + (h/2)*(alpha*f(x1) + beta*f(x2) + gamma*f(x3)); end end Cette fonction renvoie l'approximation $F$ de $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ obtenue par la règle composite précédente.