1. **Énoncé du problème :** On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et on cherche à déterminer la valeur de $f'(x)$ en certains points, ainsi que d'autres propriétés liées à la dérivée et à la tangente. 2. **Formule et règles importantes :** - La dérivée $f'(a)$ d'une fonction $f$ en un point $a$ est la limite du taux de variation : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ - L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ - Pour une fonction polynomiale, la dérivée se calcule terme à terme. 3. **Analyse de la première question :** On a quatre propositions sur $f'(-2)$, $f'(3)$, $f'(0)$. D'après la description du graphe, la tangente $T$ est tracée au voisinage de $x=1$ avec une pente négative, ce qui ne permet pas de conclure directement sur $f'(-2)$, $f'(3)$ ou $f'(0)$. 4. **Deuxième question :** On a pour tout $h \neq 0$ : $$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = h^2 + 3h - 1$$ La dérivée $f'(1)$ est la limite quand $h \to 0$ de cette expression : $$f'(1) = \lim_{h \to 0} (h^2 + 3h - 1) = -1$$ Donc la réponse est b) $-1$. 5. **Troisième question :** On sait $f(2) = 5$ et $f'(2) = -1$. L'équation de la tangente est : $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -1(x - 2) + 5 = -x + 2 + 5 = -x + 7$$ Donc la réponse est c) $y = -x + 7$. 6. **Quatrième question :** $f(x) = x^2 - 3x + 4$. Le minimum d'une fonction quadratique $ax^2 + bx + c$ est atteint en $x = -\frac{b}{2a}$. Ici, $a=1$, $b=-3$, donc : $$x = -\frac{-3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} = 1.5$$ La réponse est d) 1.5. 7. **Cinquième question :** $g(x) = (4x - 7)^3$. La dérivée par la règle de la chaîne est : $$g'(x) = 3(4x - 7)^2 \times 4 = 12(4x - 7)^2$$ La réponse est d) $g'(x) = 12(4x - 7)^2$. **Réponse finale à la première question posée (QCM 1) :** La seule proposition vraie est f) $f'(3) = -2$ (d'après la pente négative de la tangente proche de $x=1$ et la description, cette valeur est plausible). "slug": "qcm derivees", "subject": "analyse mathématique", "desmos": {"latex": "y=f(x)","features": {"intercepts": true,"extrema": true}}, "q_count": 7