1. **Énoncé du problème :** On considère une fonction croissante $g : [0,1] \to [0,1]$. On définit l'ensemble $E = \{x \in [0,1] \mid g(x) \geq x\}$. On note $b = \sup(E)$, le plus petit majorant de $E$. Le but est de montrer que $g$ admet un point fixe en $b$, c'est-à-dire que $g(b) = b$. 2. **Formule et règles importantes :** - $b = \sup(E)$ signifie que $b$ est la borne supérieure de $E$. - $g$ est croissante, donc pour $x \leq y$, on a $g(x) \leq g(y)$. - Un point fixe $b$ vérifie $g(b) = b$. 3. **Étape 1 : Existence de $b$** - $E$ est non vide car $0 \in E$ puisque $g(0) \in [0,1]$ et donc $g(0) \geq 0$. - $E \subset [0,1]$ donc $E$ est borné supérieurement par $1$. - Par le théorème de la borne supérieure, $b = \sup(E)$ existe et $b \in [0,1]$. 4. **Étape 2 : Montrer que $g(b) = b$** - Par définition de $b = \sup(E)$, pour tout $x \in E$, $x \leq b$. - Comme $g$ est croissante, pour tout $x \in E$, $g(x) \geq x$ donc $g(b) \geq g(x) \geq x$. - On a donc $g(b) \geq b$ car $b$ est la borne supérieure. 5. **Étape 3 : Preuve par l'absurde** - Supposons que $g(b) > b$. - Alors, comme $g$ est croissante, on a $g(g(b)) > g(b)$. - Mais $g(b) \in [0,1]$, donc $g(g(b)) \leq 1$. - Cela implique une chaîne stricte $b < g(b) < g(g(b))$, ce qui contredit la définition de $b$ comme borne supérieure de $E$. 6. **Conclusion :** - La supposition $g(b) > b$ est fausse. - Donc $g(b) = b$, ce qui signifie que $b$ est un point fixe de $g$. **Réponse finale :** $$g(b) = b$$