1. Énonçons le problème : maîtriser une fonction déterminée par une formule explicite signifie comprendre comment elle se comporte, comment la représenter, et comment analyser ses propriétés. 2. Une fonction explicite est donnée par une formule du type $y = f(x)$, où $y$ est exprimé directement en fonction de $x$. 3. Pour maîtriser cette fonction, il faut : - Comprendre la formule et son domaine de définition. - Étudier son comportement (croissance, décroissance). - Trouver ses points particuliers (zéros, extremums). - Représenter graphiquement la fonction. 4. Exemple : soit la fonction $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. 5. Étudions-la : - Domaine : tous les réels $\mathbb{R}$. - Zéros : résoudre $2x^2 - 4x + 1 = 0$. 6. Calcul des racines : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 7. Étude du signe : - Comme le coefficient de $x^2$ est positif, la parabole est tournée vers le haut. - La fonction est décroissante sur $(-\infty, 1)$ et croissante sur $(1, +\infty)$. 8. Trouvons l'extrémum : - Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{4} = 1$. - Valeur au sommet : $f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$. 9. Conclusion : - La fonction a un minimum en $(1, -1)$. - Elle coupe l'axe des abscisses en $x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. 10. Pour maîtriser une fonction explicite, il faut donc analyser sa formule, calculer ses points clés, étudier son comportement, et la représenter graphiquement.