1. Énoncé du problème : Nous devons déterminer quelles affirmations parmi A, B, C, D, et E sont correctes concernant les limites et le signe des fonctions. 2. Rappel des définitions et propriétés importantes : - Une fonction $f$ est strictement croissante si pour tout $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) < f(x_2)$. - La limite d'une fonction $f$ en $+\infty$ est la valeur que $f(x)$ approche quand $x$ tend vers $+\infty$. - Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ avec $L \neq 0$, alors pour $x$ suffisamment grand, $f(x)$ est proche de $L$ et donc de même signe que $L$. 3. Analyse des affirmations : A. "Si $f$ est strictement croissante et positive sur $[0,+\infty[$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, alors $x \to +\infty$". - Cette affirmation est mal formulée, la conclusion "alors $x \to +\infty$" n'a pas de sens ici. - Par contre, si $f$ est strictement croissante et positive et tend vers $+\infty$, c'est cohérent. - Mais la phrase semble incomplète ou incorrecte, donc A est incorrecte. B. "Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, alors pour $x$ suffisamment grand, tous les $f(x)$ sont de même signe." - Comme la limite est 0, pour $x$ grand, $f(x)$ est proche de 0. - Cependant, $f(x)$ peut osciller autour de 0, changeant de signe. - Exemple : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ tend vers 0 mais change de signe infiniment. - Donc B est fausse. C. "Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$, alors pour $x$ suffisamment grand, tous les $f(x)$ sont de même signe." - Ici, la limite est $-1 < 0$. - Par définition de limite, pour $x$ assez grand, $f(x)$ est proche de $-1$ et donc négatif. - Donc tous les $f(x)$ sont négatifs pour $x$ grand. - C est vraie. D. "Aucune proposition n'est correcte." - Comme C est correcte, D est fausse. E. "Si $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$, alors pour $x$ suffisamment petit, tous les $f(x)$ sont de même signe." - La limite est $1 > 0$. - Par définition, pour $x$ assez petit (tendant vers $-\infty$), $f(x)$ est proche de 1, donc positif. - Donc E est vraie. 4. Conclusion : Les affirmations correctes sont C et E. **Réponse finale :** C et E sont correctes.