1. Trouver deux constantes $m$ et $M$ telles que $m \leq \frac{1}{2 - x^2} \leq M$ pour tout réel $x$. - La fonction $f(x) = \frac{1}{2 - x^2}$ est définie pour $x^2 \neq 2$, donc pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{\pm \sqrt{2}\}$. - Le dénominateur $2 - x^2$ est positif si $x^2 < 2$ et négatif si $x^2 > 2$. - Sur $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $2 - x^2 > 0$, donc $f(x) > 0$. - Sur $\mathbb{R} \setminus [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, $2 - x^2 < 0$, donc $f(x) < 0$. - La fonction tend vers $+\infty$ quand $x \to \sqrt{2}^-$ et vers $-\infty$ quand $x \to \sqrt{2}^+$. - Pour $x$ proche de 0, $f(0) = \frac{1}{2} = 0.5$. - Le maximum sur $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ est atteint en $x=0$ avec $f(0) = 0.5$. - Pour $|x| > \sqrt{2}$, $f(x)$ est négatif et tend vers 0 par valeurs négatives quand $|x| \to +\infty$. Donc on peut choisir $m = -\infty$ et $M = 0.5$ si on considère tout $\mathbb{R}$ sauf $\pm \sqrt{2}$. 2. Comportement en $+\infty$ de - $f(x) = \frac{x}{1 - x^2}$ : $$f(x) = \frac{x}{1 - x^2} = \frac{x}{-x^2 + 1} = \frac{x}{-x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{-x(1 - \frac{1}{x^2})} \to 0^- \text{ quand } x \to +\infty.$$ - $g(x) = \frac{x + \sin x}{2 - x^2}$ : Pour $x \to +\infty$, $x^2$ domine, donc $$g(x) \sim \frac{x}{-x^2} = -\frac{1}{x} \to 0^-.$$ 3. Calcul des limites (Exercice 5) : a) $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x - 3) - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 3) - \frac{3}{x - 3}$$ Mais mieux factoriser : $x^2 - 6x + 3 = (x - 3)^2 - 6$ n'est pas exact, donc utiliser la forme dérivée : $$\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = f'(3)$$ avec $f(x) = x^2 - 6x + 3$. Calcul de $f'(x) = 2x - 6$, donc $f'(3) = 0$. Donc la limite est 0. b) $$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{2x} - 4}{\sqrt{x^2 + 1} - 3}$$ Évaluer numériquement : $\sqrt{16} - 4 = 0$, $\sqrt{64 + 1} - 3 = \sqrt{65} - 3 \neq 0$, donc limite = 0. c) $$\lim_{x \to 58} \frac{(2x + 5)^2 - 12x^2}{x - 58}$$ Développer le numérateur : $$(2x + 5)^2 - 12x^2 = 4x^2 + 20x + 25 - 12x^2 = -8x^2 + 20x + 25$$ Utiliser la règle de l'Hôpital : dériver numérateur et dénominateur : Numérateur dérivé : $-16x + 20$, dénominateur dérivé : 1. Donc limite = $-16 \times 58 + 20 = -928 + 20 = -908$. d) $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$$ Utiliser la conjugaison : $$= \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 6} - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 6 - 9}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 6} + 3} = \frac{1}{6}.$$ 4. Limites et étude de la fonction $f(x) = ax + b - \sqrt{x^2 + 1}$ (Exercice 6) : - Étudier la limite en $-\infty$ selon $a$. - Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 + 1} \sim |x| = -x$ car $x$ négatif. - Donc $f(x) \sim ax + b - (-x) = (a + 1)x + b$. - Si $a + 1 > 0$, $f(x) \to -\infty$. - Si $a + 1 < 0$, $f(x) \to +\infty$. - Si $a = -1$, $f(x) \to b$. - Déterminer $a$ et $b$ pour que la droite $2x - y + 2 = 0$ soit asymptote en $-\infty$. - Réécrire la droite : $y = 2x + 2$. - L'asymptote est la droite approchant $f(x)$ quand $x \to -\infty$. - Donc $ax + b - \sqrt{x^2 + 1} \sim 2x + 2$. - Comme $\sqrt{x^2 + 1} \sim -x$ pour $x \to -\infty$, on a $$ax + b - (-x) = (a + 1)x + b \sim 2x + 2,$$ - D'où $a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$ et $b = 2$. 5. Limites en 0 (Exercice 1) : a) $$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} = 1$$ car $\frac{\sin t}{t} \to 1$ quand $t \to 0$. b) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + \sin 2x}{\sin x - \sin 2x} = \frac{0 + 0}{0 - 0}$$ forme indéterminée. Utiliser les développements limités : $\sin x \sim x$, $\sin 2x \sim 2x$, Donc numérateur $\sim x + 2x = 3x$, dénominateur $\sim x - 2x = -x$, Limite $= \frac{3x}{-x} = -3$. c) $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{\sin(3x)}$$ Avec $\tan t \sim t$, $\sin t \sim t$, Limite $= \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$. 6. Limites diverses (Exercice 2) : a) $$\lim_{x \to \pi/6} \frac{\sin x - \cos x}{\sin 4x}$$ Évaluer numériquement : $\sin(\pi/6) = 1/2$, $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$, $\sin(4 \times \pi/6) = \sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Numérateur $= 1/2 - \sqrt{3}/2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$. Donc limite $= \frac{(1 - \sqrt{3})/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$. b) $$\lim_{x \to \pi/3} \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{-\sin(2x) + \sqrt{3} \cos(2x)}$$ Évaluer numériquement : $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$, $\cos(\pi/3) = 1/2$, Numérateur $= \sqrt{3}/2 + \sqrt{3} \times 1/2 = \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}$. Dénominateur $= -\sin(2\pi/3) + \sqrt{3} \cos(2\pi/3) = -\sqrt{3}/2 + \sqrt{3} \times (-1/2) = -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$. Limite $= \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -1$. c) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 3x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3 = 1 + 3 = 4.$$ d) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + 5} - x}{\sqrt{x^2 - x}}$$ Le numérateur tend vers $-\infty$, le dénominateur vers $+\infty$, donc limite $= 0$. (e) et (f) nécessitent plus d'informations sur $a$ et la fonction, mais on peut supposer que (e) tend vers 0 et (f) est une limite trigonométrique simple. 7. Comportement en $+\infty$ (Exercice 3) : a) $f(x) = x^2 - 2 \sin x$ : $x^2$ domine, donc $f(x) \sim x^2 \to +\infty$. b) $f(x) = \frac{2x + \sin x}{x} = 2 + \frac{\sin x}{x} \to 2$. c) $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x} \to 0$ car dénominateur tend vers $-\infty$. d) $f(x) = x \ln x$ pour $x \to +\infty$, tend vers $+\infty$.